線性方程組的直接解法方法很多，包括Gauss消去法、選主元消去法、平方根法和追趕法等等。但是在MATLAB中，可以直接利用“\”或者“/”來解決問題。這兩種方法的內(nèi)部包含非常多的自適應(yīng)算法，比如對超定方程使用最小二乘法；對欠定方程給出誤差范數(shù)最小的一個(gè)解；對三對角陣方程組使用追趕法。

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• 時(shí)間：2024-09-13

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一. 直接求解：矩陣除法

對線性方程求解，MATLAB調(diào)用格式如下：

x=A\B

調(diào)用此函數(shù)時(shí)，矩陣A、B必須具有相同的行數(shù)。如果矩陣A沒有正確縮放或者接近奇異矩陣，運(yùn)行代碼時(shí)，MATLAB就會顯示警告信息。

對矩陣A可以分成如下三種情況：

• 如果A是標(biāo)量，那么A\B就等同于A.\B
• 如果A是方陣，B是n行矩陣，那么A\B就是方程A*X=B的解
• 如果A是矩陣，而且，B是m行矩陣，那么A\B返回方程組A*X=B的最小二乘解

例題1

解如下方程：

解：

MATLAB代碼如下：

clc;clear;
A=[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943;0.2246 0.3872 0.4015 0.1129;
    0.3645 0.1920 0.3781 0.0643;0.1784 0.4002 0.2786 0.3927];
b=[0.4043;0.1150;0.4240;-0.2557];
x=A\b;
x' %將結(jié)果輸出為行向量

運(yùn)行結(jié)果：

ans =

• 0.332683779325239
• -1.412140862756104
• 1.602847655449206
• -0.500293786006566

例題2

A為4階的幻方矩陣，求解線性方程組Ax=b。b的表達(dá)式如下：

備注：幻方矩陣的定義：如果一個(gè)數(shù)組具有相同行列且每行，每列和對角線上的和都一樣，則成這些數(shù)組則成為魔方矩陣，又叫幻方矩陣。

解：

MATLAB代碼如下：

clc;clear;
A=magic(4); %生成四階的幻方矩陣
b=[34;34;34;34];
x=A\b;
x'

運(yùn)行結(jié)果：

ans =

• 0.980392156862745
• 0.941176470588235
• 1.058823529411765
• 1.019607843137255

分析：

4階的幻方矩陣是奇異矩陣，奇異矩陣也能求解，但是MATLAB會生成警告，警告信息如下：

警告: 矩陣接近奇異值，或者縮放錯(cuò)誤。結(jié)果可能不準(zhǔn)確。RCOND = 4.625929e-18。;

例題3

對線性方程組Ax=b進(jìn)行求解，并分析是否有誤差。A，b矩陣如下：

，

解：

MATLAB代碼如下：

clc;clear;
A=[1 2 0;0 4 3];
b=[8;18];
x=A\b
E=norm(b-A*x) %求范數(shù)誤差

運(yùn)行結(jié)果：

x =

• 0
• 3.999999999999997
• 0.666666666666670

E =

7.160723346098895e-15

分析：此方程屬于欠定方程，MATLAB采用最小二乘法進(jìn)行求解，所以會出現(xiàn)誤差

另外最后舉一個(gè)利用稀疏矩陣對簡單線性方程組Ax=B進(jìn)行求解。

MATLAB代碼：

clc;clear;
A=sparse([0 2 0 1 0;4 -1 -1 0 0;0 0 0 3 -6;-2 0 0 0 2;0 0 4 2 0]);%稀疏矩陣
B=sparse([8;-1;-18;8;20]); %稀疏矩陣
x=A\B
E1=norm(B-A*x) %范數(shù)誤差

運(yùn)行結(jié)果：

x =

• (1,1)      1.000000000000000
• (2,1)      2.000000000000000
• (3,1)      3.000000000000000
• (4,1)      4.000000000000001
• (5,1)      5.000000000000001

E1 =

4.189529226675416e-15

二. 直接求解：判斷求解

給定矩陣A,B如下：

形成解的判定矩陣C如下：

線性方程組有解的判斷定理將分成三種情況：

2.1 m=n且rank(A)=rank(C)=n

此時(shí)，方程組有唯一的解 

例題4

求解如下方程組：

解：

MATLAB代碼如下：

clc;clear;
A=[1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2];
B=[5 1;4 2;3 3;2 4];
C=[A B];
%判定前提條件
rank_A=rank(A)
rank_C=rank(C)
%求解
x1=inv(A)*B
%計(jì)算范數(shù)誤差
E1=norm(A*x1-B)
%計(jì)算精確解
x2=inv(sym(A))*B
%計(jì)算范數(shù)誤差
E2=norm(A*x2-B)

運(yùn)行結(jié)果：

• rank_A =4
• rank_C = 4

x1 =

• -1.800000000000000   2.399999999999999
• 1.866666666666666  -1.266666666666667
• 3.866666666666667  -3.266666666666667
• -2.133333333333333   2.733333333333333

E1 =7.291088482824584e-15

x2 =

• [ -9/5, 12/5]
• [28/15, -19/15]
• [ 58/15, -49/15]
• [ -32/15, 41/15]

E2 =0

2.2 rank(A)=rank(C)=r<n

此時(shí)方程組有無窮多個(gè)解。將原方程組可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的齊次方程組的解，形式如下：

此時(shí)需要求取A矩陣的化零矩陣，MATLAB格式如下：

Z=null(A)

 或者求取A矩陣的化零矩陣的規(guī)范形式，MATLAB格式如下：

Z=null(A,'r')

例題5

求解以下方程組:

解：

MATLAB代碼如下：

clc;clear;
A=[1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];
B=[1;3;2;6];
C=[A B];
%判斷可解性
rank=[rank(A),rank(C)]
%求解出規(guī)范化的化零空間
Z=null(sym(A))
%求特解
x0=sym(pinv(A)*B)
%驗(yàn)證得出的解
a1=randn(1);
a2=rand(1); %a1和a2是不同分布的隨機(jī)數(shù)
x1=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;
E=norm(double(A*x1-B))
%將通解表示出來
syms a3 a4;
x2=a3*Z(:,1)+a4*Z(:,2)+x0

運(yùn)行結(jié)果：

rank =2

分析：說明有解，且解不止一個(gè)

Z =

• [    2,    3]
• [ -5/2, -7/2]
• [    1,    0]
• [    0,    1]

分析：此結(jié)果可以解釋為，如下等式：

x0 =

• 125/131
• 96/131
• -10/131
• -39/131

E =0

分析：此方法求出的結(jié)果沒有誤差

x2 =

• 2*a3 + 3*a4 + 125/131
• 96/131 - (7*a4)/2 - (5*a3)/2
• a3 - 10/131
• a4 - 39/131

分析：此結(jié)果可以寫成通式如下：

2.3 

此時(shí)只能采用摩爾-彭羅斯（Moore-Penrose）廣義逆求解出其最小二乘法，MATLAB格式如下：

x=pinv(A)*B

這種方法只能使誤差范數(shù)測度||Ax-B||取的最小值，并不能完全符合原始的代數(shù)方程。

三. 矩陣求逆解線性方程組

通過反轉(zhuǎn)系數(shù)矩陣A，也可以實(shí)現(xiàn)對線性方程組Ax=b的求解。不幸的是，與之前反斜杠計(jì)算的方法相比，此方法的運(yùn)算速度會更慢，殘差也相對較大。但其實(shí)，它也有它的優(yōu)點(diǎn)，我們來看一道例題。

例題 6

利用八階的幻方矩陣，來比較MATLAB中x1=A\b和x2=pinv(A)*b兩種求解方法的精確度。

解：

MATLAB代碼如下：

clc;clear;
A=magic(8);
A1=A(:,1:6); %行數(shù)全取，列數(shù)保留1~6列，具體原因見"分析"
rank_A1=rank(A1)
b=260*ones(8,1); %260是原A矩陣的幻數(shù)和
%使用反斜杠法求解
x1=A1\b
norm_x1=norm(x1)
E1=norm(A1*x1-b)
%使用pinv()函數(shù)求解
x2=pinv(A1)*b
norm_x2=norm(x2)
E2=norm(A1*x2-b)

運(yùn)行結(jié)果：

rank_A1 =3

警告: 秩虧，秩 = 3，tol = 1.882938e-13。

（由于A1矩陣非方陣，所以運(yùn)算秩時(shí)矩陣出現(xiàn)警告，與矩陣秩相關(guān)的介紹可以看以下文章）

基于MATLAB的矩陣性質(zhì)：行列式，秩，跡，范數(shù)，特征多項(xiàng)式與矩陣多項(xiàng)式_嘮嗑！的博客-CSDN博客

x1 =

• 2.999999999999998
• 4.000000000000000
• 0
• 0
• 1.000000000000002
• 0

• norm_x1 =5.099019513592784
• E1 =1.392373714442771e-13

x2 =

• 1.153846153846151
• 1.461538461538463
• 1.384615384615385
• 1.384615384615383
• 1.461538461538461
• 1.153846153846153

• norm_x2 =3.281650616569467
• E2 =4.019436694230464e-13

分析：

• （1）將A矩陣轉(zhuǎn)換為A1，因?yàn)楫?dāng)只有六列時(shí)，方程仍然是一致的，依舊存在解，而且解并非全由1組成。另外，由于矩陣低秩，所以會有無數(shù)個(gè)解。
• （2）根據(jù)范數(shù)誤差計(jì)算的結(jié)果，兩種求解方法精度一致

（3）解x1的特殊之處在于它只有三個(gè)非零元素；解x2的特殊之處在于它的norm(x2)非常小