C語(yǔ)言使用DP動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想解最大K乘積與乘積最大問(wèn)題

更新時(shí)間：2016年06月03日 15:15:39 作者：oopos

Dynamic Programming動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法采用最優(yōu)原則來(lái)建立用于計(jì)算最優(yōu)解的遞歸式,并且考察每個(gè)最優(yōu)決策序列中是否包含一個(gè)最優(yōu)子序列,這里我們就來(lái)展示C語(yǔ)言使用DP動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想解最大K乘積與乘積最大問(wèn)題

最大K乘積問(wèn)題
設(shè)I是一個(gè)n位十進(jìn)制整數(shù)。如果將I劃分為k段，則可得到k個(gè)整數(shù)。這k個(gè)整數(shù)的乘積稱為I的一個(gè)k乘積。試設(shè)計(jì)一個(gè)算法，對(duì)于給定的I和k，求出I的最大k乘積。
編程任務(wù)：
對(duì)于給定的I 和k，編程計(jì)算I 的最大k 乘積。
需求輸入：
輸入的第1 行中有2個(gè)正整數(shù)n和k。正整數(shù)n是序列的長(zhǎng)度；正整數(shù)k是分割的段數(shù)。接下來(lái)的一行中是一個(gè)n位十進(jìn)制整數(shù)。（n<=10）
需求輸出：
計(jì)算出的最大k乘積。

解題思路：DP
設(shè)w(h,k) 表示: 從第1位到第K位所組成的十進(jìn)制數(shù),設(shè)m(i,j)表示前i位(1-i)分成j段所得的最大乘積,則可得到如下經(jīng)典的DP方程：

if(j==1) m(i,j) = w(1,i) ;
if(j >=1 && j<=i) m(i,j) = max{m(d,j-1)*m(d+1,i)}

其中： 1<=d< i (即從1開(kāi)始一直到i-1 中找最大值

else if(i < j) m(i,j) = 0 ;

代碼示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 51
#define MAXK 10

long m[MAXK][MAXN]={{0,0}} ; /*初始化操作*/
long w[MAXN][MAXN]={{0,0}} ;
 
void maxdp(int n,int k,int *a)
{
  int i,j,d,h,q,t,s;
  long temp,max;
  for(i=1; i<= n ; i++) /*分成1段*/
  m[i][1] = w[1][i];
  
 
 
  for(i=1 ; i<= n ; i++) /* DP 過(guò)程*/
  for(j=2; j<= k ; j++)
  {
    max = 0;
 
    for(d=1; d < i ; d++)
    if ( (temp = m[d][j-1]*w[d+1][i]) > max)
      max = temp ;
    m[i][j] = max ;
    
    
  }
  
}
      
int main(void)
{
 int n,k,i,j;
 int a[MAXN]={0},la=0;
 char c ;
 scanf("%d %d ",&n,&k);
 
 while ( ( c=getchar() )!=' ') /*讀入數(shù)據(jù)*/
 {
   a[++la] = c-'0' ;
 }
 
 for(i=1 ; i<= n; i++)
 {
   w[i][i]= a[i] ;
   for(j=i+1 ; j<= n; j++)
   w[i][j] = w[i][j-1]*10 + a[j] ;
 }
 
 /*
 for(i=1 ; i<= n; i++)
 {
   for(j=1 ; j<= n; j++)
   printf("%d ",w[i][j]);
   printf(" ");
 }
 */
 
 maxdp(n,k,a) ;

 
 printf("%ld ",m[n][k]) ;
 
 /*system("pause");*/
 
 return 0;
}

乘積最大問(wèn)題：

（和最大k乘積問(wèn)題差不多，都是用DP，不過(guò)有些細(xì)節(jié)要注意一下，比如：位數(shù)小于乘號(hào)，則為0)

描述 Description
今年是國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟確定的“2000——世界數(shù)學(xué)年”，又恰逢我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生誕辰90周年。在華羅庚先生的家鄉(xiāng)江蘇金壇，組織了一場(chǎng)別開(kāi)生面的數(shù)學(xué)智力競(jìng)賽的活動(dòng)，你的一個(gè)好朋友XZ也有幸得以參加?；顒?dòng)中，主持人給所有參加活動(dòng)的選手出了這樣一道題目：
設(shè)有一個(gè)長(zhǎng)度N的數(shù)字串，要求選手使用K個(gè)乘號(hào)將它分成K+1個(gè)部分，找出一種分法，使得這K+1個(gè)部分的乘積能夠?yàn)樽畲蟆?br /> 同時(shí)，為了幫助選手能夠正確理解題意，主持人還舉了如下的一個(gè)例子：
有一個(gè)數(shù)字串: 312，當(dāng)N=3，K=1時(shí)會(huì)有以下兩種分法：
（1）3*12=36
（2）31*2=62
這時(shí)，符合題目要求的結(jié)果是： 31*2=62
現(xiàn)在，請(qǐng)你幫助你的好朋友XZ設(shè)計(jì)一個(gè)程序，求得正確的答案。
輸入格式 Input Format
程序的輸入共有兩行：
1.第一行共有2個(gè)自然數(shù)N，K (6<=N<=40，1<=K<=6)
2.第二行是一個(gè)K度為N的數(shù)字串。

輸出格式 Output Format
屏幕輸出(結(jié)果顯示在屏幕上)，相對(duì)于輸入，應(yīng)輸出所求得的最大乘積（一個(gè)自然數(shù)）。

解法：典型的DP問(wèn)題
設(shè)w(h,q)表示從h位開(kāi)始的q位數(shù)字組合所成的十進(jìn)制數(shù),m(i,j)表示前i位數(shù)字串所得的最大j乘積,初始值為：

m(i,0) = w(1,q) ;

動(dòng)規(guī)方程如下所示：

if (j==0) m(i,j) = w(1,q) ;
else if(j>0)
m(i,j) = max { m(d,j-1)*w(d+1,i-d) }

ps: 其中 1 <= d < i

代碼：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 51
#define MAXK 10

long m[MAXK][MAXN]={{0,0}} ; /*初始化操作*/

long my_10_pow(int t)
{
  long sum=1 ;
  int y;
  for(y=1 ; y<= t ; y++)
  sum *= 10 ;
  
  return sum ;
}

long w(int start,int len,int *a)/*把數(shù)字串轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)*/
{
  long res = 0 ;
  int t,f;
  for(f=start,t=len-1;t >= 0 ; f++,t--)
  res += a[f]*my_10_pow(t) ;
  
  return res ;
}  
  
void maxdp(int n,int k,int *a)
{
  int i,j,d,h,q,t,s;
  long temp,max;
  for(i=1; i<= n ; i++)
  m[i][0] = w(1,i,a) ;
  
 
 
  for(i=1 ; i<= n ; i++) /*DP 過(guò)程。。。。*/
  for(j=1; j<= k ; j++)
  {
    max = 0;
    if( i <= j) /*如果長(zhǎng)度小于乘號(hào)的個(gè)數(shù)，則值為0*/
    m[i][j] = 0 ;
    else
    {
    
    for(d=1; d < i ; d++)
    if ( (temp = m[d][j-1]*w(d+1,i-d,a)) > max)
      max = temp ;
    m[i][j] = max ;
    }
    
  }
  
}
     
int main(void)
{
 int n,k,i,j;
 int a[MAXN]={0},la=0;
 char c ;
 scanf("%d %d ",&n,&k);
 
 while ( ( c=getchar() )!=' ') /*讀入數(shù)據(jù)*/
 {
   a[++la] = c-'0' ;
 }
 
 maxdp(n,k,a) ;
 
 printf("max = %ld ",m[n][k]) ;
 
 system("pause");
 
 return 0;
}

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