Python素數(shù)檢測的方法

更新時間：2015年05月11日 11:50:21 作者：蛇小狼

這篇文章主要介紹了Python素數(shù)檢測的方法,實例分析了Python素數(shù)檢測的相關(guān)技巧,需要的朋友可以參考下

本文實例講述了Python素數(shù)檢測的方法。分享給大家供大家參考。具體如下：

因子檢測：

檢測因子，時間復雜度O(n^(1/2))

def is_prime(n):
  if n < 2:
    return False
  for i in xrange(2, int(n**0.5+1)):
    if n%i == 0:
      return False
  return True

費馬小定理：

如果n是一個素數(shù)，a是小于n的任意正整數(shù)，那么a的n次方與a模n同余

實現(xiàn)方法：

選擇一個底數(shù)（例如2），對于大整數(shù)p，如果2^(p-1)與1不是模p同余數(shù)，則p一定不是素數(shù)；否則，則p很可能是一個素數(shù)
2**(n-1)%n 不是一個容易計算的數(shù)字

模運算規(guī)則：

(a^b) % p = ((a % p)^b) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

計算X^N(% P)

可以
如果N是偶數(shù)，那么X^N =（X*X）^[N/2]；
如果N是奇數(shù)，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；

def xn_mod_p(x, n, p):
  if n == 0:
    return 1
  res = xn_mod_p((x*x)%p, n>>1, p)
  if n&1 != 0:
    res = (res*x)%p
  return res

也可以歸納為下面的算法兩個函數(shù)是一樣的

def xn_mod_p2(x, n, p):
  res = 1
  n_bin = bin(n)[2:]
  for i in range(0, len(n_bin)):
    res = res**2 % p
    if n_bin[i] == '1':
      res = res * x % p
  return res

有了模冪運算快速處理就可以實現(xiàn)費馬檢測

費馬測試當給出否定結(jié)論時，是準確的，但是肯定結(jié)論有可能是錯誤的，對于大整數(shù)的效率很高，并且誤判率隨著整數(shù)的增大而降低

def fermat_test_prime(n):
  if n == 1:
    return False
  if n == 2:
    return True
  res = xn_mod_p(2, n-1, n)
  return res == 1

MILLER-RABIN檢測

Miller-Rabin檢測是目前應(yīng)用比較廣泛的一種

二次探測定理:如果p是一個素數(shù),且0<x<p,則方程x^2%p=1的解為:x=1或x=p-1
費馬小定理：a^(p-1) ≡ 1(mod p)

這就是Miller-Rabin素性測試的方法。不斷地提取指數(shù)n-1中的因子2，把n-1表示成d*2^r（其中d是一個奇數(shù)）。那么我們需要計算的東西就變成了a的d*2^r次方除以n的余數(shù)。于是，a^(d * 2^(r-1))要么等于1，要么等于n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等于1，定理繼續(xù)適用于a^(d * 2^(r-2))，這樣不斷開方開下去，直到對于某個i滿足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最后指數(shù)中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。這樣，F(xiàn)ermat小定理加強為如下形式：

盡可能提取因子2，把n-1表示成d*2^r，如果n是一個素數(shù)，那么或者a^d mod n=1，或者存在某個i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i<r ) （注意i可以等于0，這就把a^d mod n=n-1的情況統(tǒng)一到后面去了）

定理:若n是素數(shù),a是小于n的正整數(shù),則n對以a為基的Miller測試,結(jié)果為真.
Miller測試進行k次,將合數(shù)當成素數(shù)處理的錯誤概率最多不會超過4^(-k)

def miller_rabin_witness(a, p):
  if p == 1:
    return False
  if p == 2:
    return True
  #p-1 = u*2^t 求解 u, t
  n = p - 1
  t = int(math.floor(math.log(n, 2)))
  u = 1
  while t > 0:
    u = n / 2**t
    if n % 2**t == 0 and u % 2 == 1:
      break
    t = t - 1
  b1 = b2 = xn_mod_p2(a, u, p)
  for i in range(1, t + 1):
    b2 = b1**2 % p
    if b2 == 1 and b1 != 1 and b1 != (p - 1):
      return False
    b1 = b2
  if b1 != 1:
    return False
  return True
def prime_test_miller_rabin(p, k):
  while k > 0:
    a = randint(1, p - 1)
    if not miller_rabin_witness(a, p):
      return False
    k = k - 1
  return True

希望本文所述對大家的Python程序設(shè)計有所幫助。

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