C++線性時(shí)間的排序算法分析
前面的文章已經(jīng)介紹了幾種排序算法,如插入排序(直接插入排序,折半插入排序,希爾排序)、交換排序(冒泡排序,快速排序)、選擇排序(簡(jiǎn)單選擇排序,堆排序)、2-路歸并排序(可以參考前一篇文章:各種內(nèi)部排序算法的實(shí)現(xiàn))等,這些排序算法都有一個(gè)共同的特點(diǎn),就是基于比較。
本文將介紹三種非比較的排序算法:計(jì)數(shù)排序,基數(shù)排序,桶排序。它們將突破比較排序的Ω(nlgn)下界,以線性時(shí)間運(yùn)行。
一、比較排序算法的時(shí)間下界
所謂的比較排序是指通過(guò)比較來(lái)決定元素間的相對(duì)次序。
“定理:對(duì)于含n個(gè)元素的一個(gè)輸入序列,任何比較排序算法在最壞情況下,都需要做Ω(nlgn)次比較?!?br /> 也就是說(shuō),比較排序算法的運(yùn)行速度不會(huì)快于nlgn,這就是基于比較的排序算法的時(shí)間下界。
通過(guò)決策樹(shù)(Decision-Tree)可以證明這個(gè)定理,關(guān)于決策樹(shù)的定義以及證明過(guò)程在這里就不贅述了。讀者可以自己去查找資料,這里推薦大家看一看麻省理工學(xué)院公開(kāi)課:算法導(dǎo)論的《MIT公開(kāi)課:線性時(shí)間排序》。
根據(jù)上面的定理,我們知道任何比較排序算法的運(yùn)行時(shí)間不會(huì)快于nlgn。那么我們是否可以突破這個(gè)限制呢?當(dāng)然可以,接下來(lái)我們將介紹三種線性時(shí)間的排序算法,它們都不是通過(guò)比較來(lái)排序的,因此,下界Ω(nlgn)對(duì)它們不適用。
二、計(jì)數(shù)排序(Counting Sort)
計(jì)數(shù)排序的基本思想就是對(duì)每一個(gè)輸入元素x,確定小于x的元素的個(gè)數(shù),這樣就可以把x直接放在它在最終輸出數(shù)組的位置上,例如:
算法的步驟大致如下:
①.找出待排序的數(shù)組中最大和最小的元素
②.統(tǒng)計(jì)數(shù)組中每個(gè)值為i的元素出現(xiàn)的次數(shù),存入數(shù)組C的第i項(xiàng)
③.對(duì)所有的計(jì)數(shù)累加(從C中的第一個(gè)元素開(kāi)始,每一項(xiàng)和前一項(xiàng)相加)
④.反向填充目標(biāo)數(shù)組:將每個(gè)元素i放在新數(shù)組的第C(i)項(xiàng),每放一個(gè)元素就將C(i)減去1
C++代碼如下:
/*************************************************************************
> File Name: CountingSort.cpp
> Author: SongLee
************************************************************************/
#include<iostream>
using namespace std;
/*
*計(jì)數(shù)排序:A和B為待排和目標(biāo)數(shù)組,k為數(shù)組中最大值,len為數(shù)組長(zhǎng)度
*/
void CountingSort(int A[], int B[], int k, int len)
{
int C[k+1];
for(int i=0; i<k+1; ++i)
C[i] = 0;
for(int i=0; i<len; ++i)
C[A[i]] += 1;
for(int i=1; i<k+1; ++i)
C[i] = C[i] + C[i-1];
for(int i=len-1; i>=0; --i)
{
B[C[A[i]]-1] = A[i];
C[A[i]] -= 1;
}
}
/* 輸出數(shù)組 */
void print(int arr[], int len)
{
for(int i=0; i<len; ++i)
cout << arr[i] << " ";
cout << endl;
}
/* 測(cè)試 */
int main()
{
int origin[8] = {4,5,3,0,2,1,15,6};
int result[8];
print(origin, 8);
CountingSort(origin, result, 15, 8);
print(result, 8);
return 0;
}
當(dāng)輸入的元素是0到k之間的整數(shù)時(shí),時(shí)間復(fù)雜度是O(n+k),空間復(fù)雜度也是O(n+k)。當(dāng)k不是很大并且序列比較集中時(shí),計(jì)數(shù)排序是一個(gè)很有效的排序算法。計(jì)數(shù)排序是一個(gè)穩(wěn)定的排序算法。
可能你會(huì)發(fā)現(xiàn),計(jì)數(shù)排序似乎饒了點(diǎn)彎子,比如當(dāng)我們剛剛統(tǒng)計(jì)出C,C[i]可以表示A中值為i的元素的個(gè)數(shù),此時(shí)我們直接順序地掃描C,就可以求出排序后的結(jié)果。的確是這樣,不過(guò)這種方法不再是計(jì)數(shù)排序,而是桶排序,確切地說(shuō),是桶排序的一種特殊情況。
三、桶排序(Bucket Sort)
桶排序(Bucket Sort)的思想是將數(shù)組分到有限數(shù)量的桶子里。每個(gè)桶子再個(gè)別排序(有可能再使用別的排序算法)。當(dāng)要被排序的數(shù)組內(nèi)的數(shù)值是均勻分配的時(shí)候,桶排序可以以線性時(shí)間運(yùn)行。桶排序過(guò)程動(dòng)畫(huà)演示:Bucket Sort,桶排序原理圖如下:
C++代碼如下:
/*************************************************************************
> File Name: BucketSort.cpp
> Author: SongLee
************************************************************************/
#include<iostream>
using namespace std;
/* 節(jié)點(diǎn) */
struct node
{
int value;
node* next;
};
/* 桶排序 */
void BucketSort(int A[], int max, int len)
{
node bucket[len];
int count=0;
for(int i=0; i<len; ++i)
{
bucket[i].value = 0;
bucket[i].next = NULL;
}
for(int i=0; i<len; ++i)
{
node *ist = new node();
ist->value = A[i];
ist->next = NULL;
int idx = A[i]*len/(max+1); // 計(jì)算索引
if(bucket[idx].next == NULL)
{
bucket[idx].next = ist;
}
else /* 按大小順序插入鏈表相應(yīng)位置 */
{
node *p = &bucket[idx];
node *q = p->next;
while(q!=NULL && q->value <= A[i])
{
p = q;
q = p->next;
}
ist->next = q;
p->next = ist;
}
}
for(int i=0; i<len; ++i)
{
node *p = bucket[i].next;
if(p == NULL)
continue;
while(p!= NULL)
{
A[count++] = p->value;
p = p->next;
}
}
}
/* 輸出數(shù)組 */
void print(int A[], int len)
{
for(int i=0; i<len; ++i)
cout << A[i] << " ";
cout << endl;
}
/* 測(cè)試 */
int main()
{
int row[11] = {24,37,44,12,89,93,77,61,58,3,100};
print(row, 11);
BucketSort(row, 235, 11);
print(row, 11);
return 0;
}
四、基數(shù)排序(Radix Sort)
基數(shù)排序(Radix Sort)是一種非比較型排序算法,它將整數(shù)按位數(shù)切割成不同的數(shù)字,然后按每個(gè)位分別進(jìn)行排序?;鶖?shù)排序的方式可以采用MSD(Most significant digital)或LSD(Least significant digital),MSD是從最高有效位開(kāi)始排序,而LSD是從最低有效位開(kāi)始排序。
當(dāng)然我們可以采用MSD方式排序,按最高有效位進(jìn)行排序,將最高有效位相同的放到一堆,然后再按下一個(gè)有效位對(duì)每個(gè)堆中的數(shù)遞歸地排序,最后再將結(jié)果合并起來(lái)。但是,這樣會(huì)產(chǎn)生很多中間堆。所以,通?;鶖?shù)排序采用的是LSD方式。
LSD基數(shù)排序?qū)崿F(xiàn)的基本思路是將所有待比較數(shù)值(正整數(shù))統(tǒng)一為同樣的數(shù)位長(zhǎng)度,數(shù)位較短的數(shù)前面補(bǔ)零。然后,從最低位開(kāi)始,依次進(jìn)行一次排序。這樣從最低位排序一直到最高位排序完成以后, 數(shù)列就變成一個(gè)有序序列。需要注意的是,對(duì)每一個(gè)數(shù)位進(jìn)行排序的算法必須是穩(wěn)定的,否則就會(huì)取消前一次排序的結(jié)果。通常我們使用計(jì)數(shù)排序或者桶排序作為基數(shù)排序的輔助算法?;鶖?shù)排序過(guò)程動(dòng)畫(huà)演示:Radix Sort
C++實(shí)現(xiàn)(使用計(jì)數(shù)排序)如下:
/*************************************************************************
> File Name: RadixSort.cpp
> Author: SongLee
************************************************************************/
#include<iostream>
using namespace std;
// 找出整數(shù)num第n位的數(shù)字
int findIt(int num, int n)
{
int power = 1;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
power *= 10;
}
return (num % power) * 10 / power;
}
// 基數(shù)排序(使用計(jì)數(shù)排序作為輔助)
void RadixSort(int A[], int len, int k)
{
for(int i=1; i<=k; ++i)
{
int C[10] = {0}; // 計(jì)數(shù)數(shù)組
int B[len]; // 結(jié)果數(shù)組
for(int j=0; j<len; ++j)
{
int d = findIt(A[j], i);
C[d] += 1;
}
for(int j=1; j<10; ++j)
C[j] = C[j] + C[j-1];
for(int j=len-1; j>=0; --j)
{
int d = findIt(A[j], i);
C[d] -= 1;
B[C[d]] = A[j];
}
// 將B中排好序的拷貝到A中
for(int j=0; j<len; ++j)
A[j] = B[j];
}
}
// 輸出數(shù)組
void print(int A[], int len)
{
for(int i=0; i<len; ++i)
cout << A[i] << " ";
cout << endl;
}
// 測(cè)試
int main()
{
int A[8] = {332, 653, 632, 5, 755, 433, 722, 48};
print(A, 8);
RadixSort(A, 8, 3);
print(A, 8);
return 0;
}
基數(shù)排序的時(shí)間復(fù)雜度是 O(k·n),其中n是排序元素個(gè)數(shù),k是數(shù)字位數(shù)。注意這不是說(shuō)這個(gè)時(shí)間復(fù)雜度一定優(yōu)于O(nlgn),因?yàn)閚可能具有比較大的系數(shù)k。
另外,基數(shù)排序不僅可以對(duì)整數(shù)排序,也可以對(duì)有多個(gè)關(guān)鍵字域的記錄進(jìn)行排序。例如,根據(jù)三個(gè)關(guān)鍵字年、月、日來(lái)對(duì)日期進(jìn)行排序。
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