笛卡爾乘積介紹

更新時(shí)間：2013年05月26日 12:19:56 投稿：mdxy-dxy

笛卡爾（Descartes）乘積又叫直積。假設(shè)集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個(gè)集合的笛卡爾積為{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}

笛卡爾（Descartes）乘積又叫直積。假設(shè)集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個(gè)集合的笛卡爾積為{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}?？梢詳U(kuò)展到多個(gè)集合的情況。類(lèi)似的例子有，如果A表示某學(xué)校學(xué)生的集合，B表示該學(xué)校所有課程的集合，則A與B的笛卡爾積表示所有可能的選課情況。

在數(shù)學(xué)中，兩個(gè)集合 X 和 Y 的笛卡兒積（Cartesian product），又稱(chēng)直積，表示為 X × Y，是其第一個(gè)對(duì)象是 X 的成員而第二個(gè)對(duì)象是 Y 的一個(gè)成員的所有可能的有序?qū)Γ?/p>

$X\times Y = \{(x,y) \ | \ x\in X\;\land\;y\in Y\}$ 。

笛卡兒積得名于笛卡兒，他的解析幾何的公式化引發(fā)了這個(gè)概念。

具體的說(shuō)，如果集合 X 是 13 個(gè)元素的點(diǎn)數(shù)集合 { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 } 而集合 Y 是 4 個(gè)元素的花色集合 {♠, ♥, ♦, ♣}，則這兩個(gè)集合的笛卡兒積是 52 個(gè)元素的標(biāo)準(zhǔn)撲克牌的集合 { (A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }。

1 笛卡兒積的性質(zhì)
2 笛卡兒平方和 n-元乘積
3 無(wú)窮乘積
4 函數(shù)的笛卡兒積
5 外部鏈接
6 參見(jiàn) 笛卡兒積的性質(zhì)

易見(jiàn)笛卡兒積滿(mǎn)足下列性質(zhì)：

對(duì)于任意集合 A，根據(jù)定義有 $A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing$
一般來(lái)說(shuō)笛卡兒交換律和結(jié)合律。
笛卡兒積對(duì)集合的并和交滿(mǎn)足分配律，即

$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$

$(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)$

$A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$

$(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)$

$(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)$

笛卡兒平方和 n-元乘積

集合 X 的笛卡兒平方(或二元笛卡兒積)是笛卡兒積 X × X。一個(gè)例子是二維平面 R × R，這里 R 是實(shí)數(shù)的集合 - 所有的點(diǎn) (x,y)，這里的 x 和 y 是實(shí)數(shù)(參見(jiàn)笛卡兒坐標(biāo)系)。

可以推廣出在 n 個(gè)集合 X1, ..., Xn 上的 n-元笛卡兒積:

$X_1\times\ldots\times X_n = \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}$ 。

實(shí)際上，它可以被認(rèn)同為 (X1 × ... × Xn-1) × Xn。它也是 n-元組的集合。

一個(gè)例子是歐幾里得三維空間 R × R × R，這里的 R 再次是實(shí)數(shù)的集合。

為了輔助它的計(jì)算，可繪制一個(gè)表格。一個(gè)集合作為行而另一個(gè)集合作為列，從行和列的集合選擇元素形成有序?qū)ψ鳛楸淼膯卧瘛?/p>

無(wú)窮乘積

對(duì)最常用的數(shù)學(xué)應(yīng)用而言上述定義通常就是所需要的全部。但是有可能在任意(可能無(wú)限)的集合的搜集上定義笛卡兒積。如果 I 是任何指標(biāo)集合，而

$\{X_i\ | i \in I\}$

是由 I 索引的集合的搜集，則我們定義

$\prod_{i \in I} X_i = \{ f?: I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}$ ，

就是定義在索引集合上的所有函數(shù)的集合，使得這些函數(shù)在特定索引 i 上的值是 Xi 的元素。

對(duì)在 I 中每個(gè) j，定義自

$\pi_{j}(f) = f(j) \$

的函數(shù)

$\pi_{j}?: \prod_{i \in I} X_i \to X_{j} \$

叫做第 j 投影映射。

n-元組可以被看作在 {1, 2, ..., n} 上的函數(shù)，它在 i 上的值是這個(gè)元組的第 i 個(gè)元素。所以，在 I 是 {1, 2, ..., n} 的時(shí)候這個(gè)定義一致于對(duì)有限情況的定義。在無(wú)限情況下這個(gè)定義是集合族。

特別熟悉的一個(gè)無(wú)限情況是在索引集合是自然數(shù)的集合 $\mathbb N,$ 的時(shí)候: 這正是其中第 i 項(xiàng)對(duì)應(yīng)于集合 Xi 的所有無(wú)限序列的集合。再次， $\mathbb R$ 提供了這樣的一個(gè)例子:

$\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots$

是實(shí)數(shù)的無(wú)限序列的搜集，并且很容易可視化為帶有有限數(shù)目構(gòu)件的向量或元組。另一個(gè)特殊情況(上述例子也滿(mǎn)足它)是在乘積涉及因子 Xi 都是相同的時(shí)候，類(lèi)似于“笛卡兒指數(shù)”。則在定義中的無(wú)限并集自身就是這個(gè)集合自身，而其他條件被平凡的滿(mǎn)足了，所以這正是從 I 到 X 的所有函數(shù)的集合。

此外，無(wú)限笛卡兒積更少直覺(jué)性，盡管有應(yīng)用于高級(jí)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

斷言非空集合的任意非空搜集的笛卡兒積為非空等價(jià)于選擇公理。

函數(shù)的笛卡兒積

如果 f 是從 A 到 B 的函數(shù)而 g 是從 X 到 Y 的函數(shù)，則它們的笛卡兒積 f×g 是從 A×X 到 B×Y 的函數(shù)，帶有

$(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))$