在Java中實現(xiàn)二叉搜索樹的全過程記錄

更新時間：2022年03月25日 09:35:09 作者：之一Yo

二叉樹包含了根節(jié)點,孩子節(jié)點,葉節(jié)點,每一個二叉樹只有一個根節(jié)點,每一個結(jié)點最多只有兩個節(jié)點,左子樹的鍵值小于根的鍵值,右子樹的鍵值大于根的鍵值,下面這篇文章主要給大家介紹了關(guān)于如何在Java中實現(xiàn)二叉搜索樹的相關(guān)資料,需要的朋友可以參考下

二叉搜索樹

二叉搜索樹結(jié)合了無序鏈表插入便捷和有序數(shù)組二分查找快速的特點，較為高效地實現(xiàn)了有序符號表。下圖顯示了二叉搜索樹的結(jié)構(gòu)特點（圖片來自《算法第四版》）：

可以看到每個父節(jié)點下都可以連著兩個子節(jié)點，鍵寫在節(jié)點上，其中左邊的子節(jié)點的鍵小于父節(jié)點的鍵，右節(jié)點的鍵大于父節(jié)點的鍵。每個父節(jié)點及其后代節(jié)點組成了一顆子樹，根節(jié)點及其后代節(jié)點則組成了完整的二叉搜索樹。

在代碼層面看來，就是每個節(jié)點對象中包含另外兩個子節(jié)點的指針，同時包含一些要用到的數(shù)據(jù)，比如鍵值對和方便后續(xù)操作的整課子樹的節(jié)點數(shù)量。

private class Node {
    int N = 1;
    K key;
    V value;
    Node left;
    Node right;

    public Node(K key, V value) {
        this.key = key;
        this.value = value;
    }
}

上述代碼實現(xiàn)了一個節(jié)點類，這個類是二叉搜索樹類 BinarySearchTree 的內(nèi)部類，使用者無需知道這個節(jié)點類的存在，所以訪問權(quán)限聲明為 private。

有序符號表的 API

先來看下無序符號表的 API，這些方法聲明了無序符號表的基本操作，包括插入、查詢和刪除，為了方便符號表的迭代，接口中還有 Iterable<K> keys() 方法用于 foreach 循環(huán)：

package com.zhiyiyo.collection.symboltable;

public interface SymbolTable<K, V>{
    void put(K key, V value);
    V get(K key);
    void delete(K key);
    boolean contains(K key);
    boolean isEmpty();
    int size();
    Iterable<K> keys();
}

接下來是有序符號表的 API，其中每個節(jié)點的鍵必須實現(xiàn)了 Comparable 接口：

package com.zhiyiyo.collection.symboltable;

public interface OrderedSymbolTable<K extends Comparable<K>, V> extends SymbolTable<K, V>{
    /**
     * 獲取符號表中最小的鍵
     * @return 最小的鍵
     */
    K min();

    /**
     * 獲取符號表中最大的鍵
     * @return 最大的鍵
     */
    K max();

    /**
     * 獲取小于或等于 key 的最大鍵
     * @param key 鍵
     * @return 小于或等于 key 的最大鍵
     */
    K floor(K key);

    /**
     * 獲取大于或等于 key 的最小鍵
     * @param key 鍵
     * @return 大于或等于 key 的最小鍵
     */
    K ceiling(K key);

    /**
     * 獲取小于或等于 key 的鍵數(shù)量
     * @param key 鍵
     * @return 小于或等于 key 的鍵數(shù)量
     */
    int rank(K key);

    /**
     * 獲取排名為 k 的鍵，k 的取值范圍為 [0, N-1]
     * @param k 排名
     * @return 排名為 k 的鍵
     */
    K select(int k);

    /**
     * 刪除最小的鍵
     */
    void deleteMin();

    /**
     * 刪除最大的鍵
     */
    void deleteMax();

    /**
     * [low, high] 區(qū)間內(nèi)的鍵數(shù)量
     * @param low 最小的鍵
     * @param high 最大的鍵
     * @return 鍵數(shù)量
     */
    int size(K low, K high);

    /**
     * [low, high] 區(qū)間內(nèi)的所有鍵，升序排列
     * @param low 最小的鍵
     * @param high 最大的鍵
     * @return 區(qū)間內(nèi)的鍵
     */
    Iterable<K> keys(K low, K high);
}

實現(xiàn)二叉搜索樹

二叉搜索樹類

類的基本結(jié)構(gòu)如下述代碼所示，可以看到只需用一個根節(jié)點 root 即可代表一整棵二叉搜索樹：

public class BinarySearchTree<K extends Comparable<K>, V> implements OrderedSymbolTable<K, V> {
    private Node root;

    private class Node{
        ...
    }

    ...
}

查找

從根節(jié)點出發(fā)，拿著給定的鍵 key 和根節(jié)點的鍵進(jìn)行比較，會出現(xiàn)以下三種情況：

根節(jié)點的鍵大于 key，接著去根節(jié)點的左子樹去查找；
根節(jié)點的鍵小于 key，接著去根節(jié)點的右子樹去查找；
根節(jié)點的鍵等于 key，返回根節(jié)點的值

當(dāng)我們?nèi)プ笞訕浠蛘哂易訕洳檎視r，只需將子樹的根節(jié)點視為新的根節(jié)點，然后重復(fù)上述步驟即可。如果找到最后都沒找到擁有和 key 相等的鍵的節(jié)點，返回 null 即可。在《算法第四版》中使用遞歸實現(xiàn)了上述步驟，這里換為迭代法：

@Override
public V get(K key) {
    Node node = root;
    while (node != null) {
        int cmp = node.key.compareTo(key);
        // 到左子樹搜索
        if (cmp > 0) {
            node = node.left;
        }
        // 到右子樹搜索
        else if (cmp < 0) {
            node = node.right;
        } else {
            return node.value;
        }
    }
    return null;
}

插入

將鍵值對放入二叉搜索樹時會發(fā)生兩種情況：

二叉搜索樹中已經(jīng)包含了擁有該鍵的節(jié)點，這時需要更新節(jié)點的值
二叉搜索樹中沒有包含擁有該鍵的節(jié)點，這時需要創(chuàng)建一個新的節(jié)點

所以在插入的時候要從根節(jié)點出發(fā)，比較根節(jié)點的鍵和給定的 key 之間的大小關(guān)系，和查找相似，比較會有三種情況發(fā)生：

根節(jié)點的鍵大于 key，接著去根節(jié)點的左子樹去查找；
根節(jié)點的鍵小于 key，接著去根節(jié)點的右子樹去查找；
根節(jié)點的鍵等于 key，直接更新根節(jié)點的值

如果找到最后都沒能找到那個擁有相同 key 的節(jié)點，就需要創(chuàng)建一個新的節(jié)點，把這個節(jié)點，接到子樹的根節(jié)點上，用迭代法實現(xiàn)上述過程的代碼如下所示：

@Override
public put(K key, V value){
    if (root == null) {
        root = new Node(key, value);
        return;
    }

    Node node = root;
    Node parent = root;
    int cmp = 0;

    while (node != null){
        parent = node;
        cmp = node.key.compareTo(key);
        // 到左子樹搜索
        if (cmp > 0){
            node = node.left;
        }
        // 到右子樹搜索
        else if (cmp < 0){
            node = node.right;
        } else {
            node.value = value;
            return;
        }
    }

    // 新建節(jié)點并接到父節(jié)點上
    if (cmp > 0) {
        parent.left = new Node(key, value);
    } else{
        parent.right = new Node(key, value);
    }
}

可以看到上述過程用了兩個指針，一個指針 node 用于探路，一個指針 parent 用于記錄子樹的根節(jié)點，不然當(dāng) node 為空時我們是找不到他的父節(jié)點的，也就沒法把新的節(jié)點接到父節(jié)點上。

上述代碼有個小問題，就是我們新建節(jié)點之后沒辦法更新這一路上所經(jīng)過的父節(jié)點的 N，也就是每一顆子樹的節(jié)點數(shù)。怎么辦呢，要么用一個容器保存一下經(jīng)過的父節(jié)點，要么老老實實用遞歸，這里選擇用遞歸。遞歸的想法很直接：

如果根節(jié)點的鍵大于 key，就把鍵值對插到根節(jié)點的左子樹；
如果根節(jié)點的鍵小于 key，就把鍵值對插到根節(jié)點的右子樹；
如果根節(jié)點的鍵等于 key，直接更新根節(jié)點的值

別忘了，使用遞歸的原因是我們要更新父節(jié)點的 N，所以遞歸的返回值應(yīng)該是更新后的子樹根節(jié)點，所以就有了下述代碼：

@Override
public void put(K key, V value) {
    root = put(root, key, value);
}

private Node put(Node node, K key, V value) {
    if (node == null) return new Node(key, value);
    int cmp = node.key.compareTo(key);
    if (cmp > 0) {
        node.left = put(node.left, key, value);
    } else if (cmp < 0) {
        node.right = put(node.right, key, value);
    } else {
        node.value = value;
    }
    node.N = size(node.left) + size(node.right) + 1;
    return node;
}

private int size(Node node) {
    return node == null ? 0 : node.N;
}

最小/大的鍵

從根節(jié)點出發(fā)，一路向左，鍵會是一個遞減的序列，當(dāng)我們走到整棵樹的最左邊，也就是 left 為 null 的那個節(jié)點時，我們就已經(jīng)找到了鍵最小的節(jié)點。上述過程的迭代法代碼如下：

@Override
public K min() {
    if (root == null) {
        return null;
    }

    Node node = root;
    while (node.left != null) {
        node = node.left;
    }

    return node.key;
}

查找最大鍵的節(jié)點過程和上述過程類似，只是我們這次得向右走，直到找到 right 為 null 的那個節(jié)點：

@Override
public K max() {
    if (root == null) {
        return null;
    }

    Node node = root;
    while (node.right != null) {
        node = node.right;
    }

    return node.key;
}

算法書中給出的 min() 實現(xiàn)代碼是用遞歸實現(xiàn)的，因為在刪除節(jié)點時會用到。遞歸的過程就是一直朝左子樹走的的過程，直到遇到一個節(jié)點沒有左子樹為止，然后返回該節(jié)點即可。

@Override
public K min() {
    if (root == null) {
        return null;
    }

    return min(root).key;
}

private Node min(Node node) {
    if (node.left == null) return node;
    return min(node.left);
}

小于等于 key 的最大鍵/大于等于 key 的最小鍵

從根節(jié)點出發(fā)，拿著根節(jié)點的的鍵和 key 進(jìn)行比較，會出現(xiàn)三種情況：

如果根節(jié)點的鍵大于 key，說明擁有小于或等于 key 的鍵的節(jié)點可能在左子樹上（也可能找不到）；
如果根節(jié)點的鍵小于 key，這時候先記住根節(jié)點，由于根節(jié)點的右子樹上可能存在鍵更接近但不大于 key 的節(jié)點，所以還得去右子樹看看，如果右子樹沒沒找到滿足條件的節(jié)點，這時候的根節(jié)點的鍵就是小于等于 key 的最大鍵了；
如果根節(jié)點的鍵等于 key，直接返回根節(jié)點的鍵

@Override
public K floor(K key) {
    if (root == null) {
        return null;
    }

    Node node = root;
    Node candidate = root;
    while (node != null) {
        int cmp = node.key.compareTo(key);
        if (cmp > 0) {
            node = node.left;
        } else if (cmp < 0) {
            candidate = node;
            node = node.right;
        } else {
            return node.key;
        }
    }

    return candidate.key.compareTo(key) <= 0 ? candidate.key : null;
}

《算法第四版》中給出了一個示例圖，可以更直觀地看到上述查找過程：

查找大于等于 key 的最小鍵的方法和上述過程很像，拿著根節(jié)點的的鍵和 key 進(jìn)行比較，會出現(xiàn)三種情況：

如果根節(jié)點的鍵小于 key，說明擁有大于或等于 key 的鍵的節(jié)點可能在右子樹上（也可能找不到）；
如果根節(jié)點的鍵大于 key，這時候先記住根節(jié)點，由于根節(jié)點的左子樹上可能存在鍵更接近但不小于 key 的節(jié)點，所以還得去左子樹看看，如果左子樹沒沒找到滿足條件的節(jié)點，這時候的根節(jié)點的鍵就是大于等于 key 的最小鍵了；
如果根節(jié)點的鍵等于 key，直接返回根節(jié)點的鍵

@Override
public K ceiling(K key) {
    if (root == null) {
        return null;
    }

    Node node = root;
    Node candidate = root;
    while (node != null) {
        int cmp = node.key.compareTo(key);
        if (cmp < 0) {
            node = node.right;
        } else if (cmp > 0) {
            candidate = node;
            node = node.left;
        } else {
            return node.key;
        }
    }

    return candidate.key.compareTo(key) >= 0 ? candidate.key : null;
}

根據(jù)排名獲得鍵

假設(shè)一棵二叉搜索樹中有 N 個節(jié)點，那么節(jié)點的鍵排名區(qū)間就是 [0, N-1]，也就是說，key 的排名可以看做小于 key 的鍵的個數(shù)。所以我們應(yīng)該如何根據(jù)排名獲得其對應(yīng)的鍵呢？這時候每個節(jié)點中的維護(hù)的 N 屬性就可以派上用場了。

從根節(jié)點向左看，左子樹的節(jié)點數(shù)就是小于根節(jié)點鍵的鍵個數(shù)，也就是根節(jié)點的鍵排名。所以拿著根節(jié)點的左子樹節(jié)點數(shù) N 和排名 k 進(jìn)行比較，會出現(xiàn)三種情況：

左子樹的節(jié)點數(shù)和排名相等，直接返回根節(jié)點的鍵；
左子樹的節(jié)點數(shù)大于排名，這時候去左子樹接著進(jìn)行比較；
左子樹的節(jié)點數(shù)小于排名，說明符合排名要求的節(jié)點可能出現(xiàn)在右子樹上（有可能找不到，比如 k 大于整棵二叉樹的節(jié)點數(shù)），這時候我們得去右子樹搜索。由于我們直接忽略了左子樹和根節(jié)點，所以需要對排名進(jìn)行一下調(diào)整，讓 k = k - N - 1 即可。

@Override
public K select(int k) {
    Node node = root;
    while (node != null) {
        // 父節(jié)點左子樹的大小就是父節(jié)點的鍵排名
        int N = size(node.left);
        if (N > k) {
            node = node.left;
        } else if (N < k) {
            node = node.right;
            k = k - N - 1;
        } else {
            return node.key;
        }
    }

    return null;
}

根據(jù)鍵獲取排名

把根據(jù)排名獲取鍵的過程寫作key = select(k)，那么根據(jù)鍵獲取排名的過程就是k = select^-1(key) = rank(key)。說明這兩個函數(shù)互為反函數(shù)。

從根節(jié)點出發(fā)，拿著根節(jié)點的鍵和 key 進(jìn)行比較會出現(xiàn)三種情況：

根節(jié)點的鍵大于 key，這時候得去左子樹中尋找
根節(jié)點的鍵小于 key，這時候得去右子樹中尋找，同時得記錄一下左子樹節(jié)點數(shù)+父節(jié)點的那個1
根節(jié)點的鍵等于 key，返回根節(jié)點的左子樹節(jié)點數(shù)加上之前跳過的節(jié)點數(shù)

@Override
public int rank(K key) {
    Node node = root;
    int N = 0;
    while (node != null) {
        int cmp = node.key.compareTo(key);
        if (cmp > 0) {
            node = node.left;
        } else if (cmp < 0) {
            N += size(node.left) + 1;
            node = node.right;
        } else {
            return size(node.left) + N;
        }
    }

    return N;
}

刪除

刪除操作較為復(fù)雜，先來看下較為簡單的刪除鍵最小的節(jié)點的過程。從根節(jié)點出發(fā)，一路向左，知道遇到左子樹為 null 的節(jié)點，由于這個節(jié)點可能還有右子樹，所以需要把右子樹接到父節(jié)點上。接完之后還得把這一路上遇到的父節(jié)點上的 N - 1。由于沒有其他節(jié)點引用了被刪除的節(jié)點，所以這個節(jié)點會被 java 的垃圾回收機(jī)制自動回收。算法書中給出了一個刪除的示例圖：

使用迭代法可以實現(xiàn)尋找最小節(jié)點和將右子樹連接到父節(jié)點的操作，但是不好處理每一顆子樹的 N 的更新操作，所以還是得靠遞歸法。由于我們需要將最小節(jié)點的右子樹接到父節(jié)點上，所以滿足終止條件時 deleteMin(Node node) 函數(shù)應(yīng)該把右子樹的根節(jié)點返回，否則就應(yīng)該返回更新之后的節(jié)點。

@Override
public void deleteMin() {
    if (root == null) return;
    root = deleteMin(root);
}

private Node deleteMin(Node node) {
    if (node.left == null) return node.right;
    node.left = deleteMin(node.left);
    node.N = size(node.left) + size(node.right) + 1;
    return node;
}

刪除最大的節(jié)點的過程和上面相似，只不過我們應(yīng)該將最大節(jié)點的左子樹接到父節(jié)點上。

@Override
public void deleteMax() {
    if (root == null) return;
    root = deleteMax(root);
}

private Node deleteMax(Node node) {
    if (node.right == null) return node.left;
    node.right = deleteMax(node.right);
    node.N = size(node.left) + size(node.right) + 1;
    return node;
}

討論完上面兩個較為簡單的刪除操作，我們來看下如何刪除任意節(jié)點。從根節(jié)點出發(fā)，通過比較根節(jié)點的鍵和給定的 key，會發(fā)生三種情況：

根節(jié)點的鍵大于 key，接著去左子樹刪除 key

根節(jié)點的鍵小于 key，接著去右子樹刪除 key

根節(jié)點的鍵等于 key ，說明我們找到了要被刪除的那個節(jié)點，這時候我們又會遇到三種情況：

節(jié)點的右子樹為空，直接將左子樹的根節(jié)點接到父節(jié)點上
節(jié)點的左子樹為空，直接將右子樹的根節(jié)點接到父節(jié)點上
節(jié)點的右子樹和左子樹都不為空，這時候需要找到并刪去右子樹的最小鍵節(jié)點，然后把這個最小鍵節(jié)點頂替即將被刪除節(jié)點，把它作為新的子樹根節(jié)點

算法書中給出了第三種情況（右子樹和左子樹都不為空）的示例圖：

使用遞歸實現(xiàn)的代碼如下所示：

@Override
public void delete(K key) {
    root = delete(root, key);
}

private Node delete(Node node, K key) {
    if (node == null) return null;

    // 先找到 key 對應(yīng)的節(jié)點
    int cmp = node.key.compareTo(key);
    if (cmp > 0) {
        node.left = delete(node.left, key);
    } else if (cmp < 0) {
        node.right = delete(node.right, key);
    } else {
        if (node.right == null) return node.left;
        if (node.left == null) return node.right;
        Node x = node;
        node = min(x.right);
        // 移除右子樹的最小節(jié)點 node，并將該節(jié)點作為右子樹的根節(jié)點
        node.right = deleteMin(x.right);
        // 設(shè)置左子樹的根節(jié)點為 node
        node.left = x.left;
    }

    node.N = size(node.left) + size(node.right) + 1;
    return node;
}

總結(jié)

如果在插入鍵值對的時候運氣較好，二叉搜索樹的左右子樹高度相近，那么插入和查找的比較次數(shù)為 \(\sim2\ln N\) ；如果運氣非常差，差到所有的節(jié)點連成了一條單向鏈表，那么插入和查找的比較次數(shù)就是 \(\sim N\)。所以就有了自平衡二叉樹的出現(xiàn)，不過這已經(jīng)超出本文的探討范圍了（~~絕對不是因為寫不動了~~，以上~~

到此這篇關(guān)于在Java中實現(xiàn)二叉搜索樹的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Java二叉搜索樹內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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