C語言八大排序之堆排序

更新時間：2022年02月24日 16:54:12 作者：檸檬葉子C

堆排序是利用堆這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)而設(shè)計的一種排序算法，堆排序是一種選擇排序，它的最壞，最好，平均時間復(fù)雜度均為O(nlogn)，它也是不穩(wěn)定排序

前言

本章我們來講解八大排序之堆排序。2022，地球Online新賽季開始了！讓我們一起努力內(nèi)卷吧！

一、堆排序的概念

?? 堆排序（Heapsort）：利用堆積樹（堆）這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所設(shè)計的一種排序算法，它是選擇排序的一種。通過堆來進行選擇數(shù)據(jù)，需要注意的是排升序要建大堆，排降序建小堆。

堆排序使用堆來選數(shù)，效率就高了很多。

時間復(fù)雜度： ${\color{Red} O}({\color{Blue} N}*log{\color{Blue} N})$
空間復(fù)雜度： ${\color{Red} O}(1)$
穩(wěn)定性：不穩(wěn)定

二、堆排序的實現(xiàn)

我們先創(chuàng)建一個堆排序的函數(shù)：

void HeapSort(int arr[], int n);

假設(shè)我們要對下列數(shù)組來使用堆排序（升序）：

int arr[] = {70, 56, 30, 25, 15, 10, 75};

根據(jù)我們之前學(xué)到的知識，數(shù)組是可以直接看作為完全二叉樹的，所以我們可以把它化為堆。此時我們就可以 "選數(shù)" （堆排序本質(zhì)上是一種選擇排序）。

第一步：構(gòu)建堆

第一步就是要想辦法把 arr 數(shù)組構(gòu)建成堆（這里我們先構(gòu)建成小堆）。我們介紹兩種方法，分別為向上調(diào)整算法和向下調(diào)整算法：

方法1：向上調(diào)整

通過我們之前學(xué)過的 "向上調(diào)整" ，利用插入的思路來解決。首先設(shè)計下向上調(diào)整的算法：

void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py) {
    HPDataType tmp = *px;
    *px = *py;
    *py = tmp;
}
/* 小堆的向上調(diào)整 */
void AdjustUp(int* arr, int child) {
    assert(arr);
    // 首先根據(jù)公式計算算出父親的下標(biāo)
    int parent = (child - 1) / 2;
    // 最壞情況:調(diào)到根，child=parent 當(dāng)child為根節(jié)點時結(jié)束（根節(jié)點永遠是0）
    while(child > 0) {
        if(arr[child] < arr[parent]) {  // 如果孩子小于父親（不符合小堆的性質(zhì)）
            // 交換他們的值
            Swap(&arr[child],&arr[parent]); // 傳地址
            // 往上走
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;
        } else {  // 如果孩子大于父親（符合小堆的性質(zhì)）
            // 跳出循環(huán)
            break;  
        }
    }
}

① 首先，通過公式計算出父親的下標(biāo)，公式如下：

$parent = \frac{child-1}{2}$

② 其次，設(shè)計循環(huán)部分，最壞情況為調(diào)到根，如果已經(jīng)符合大堆的條件則終止循環(huán)。

③ 進入循環(huán)后進行判斷，如果 child ＞ parent，則交換它們的值，讓父親獲得孩子的值，孩子得到父親的值，從而讓它們符合大堆的性質(zhì)。

④ 交換完畢后，以便于繼續(xù)判斷，我們需要更新 child 和 parent 指向的元素，做到 "往上走"

此時，我們把數(shù)組里的元素依次調(diào)整即可。

?? 方法1：

/* 升序 */
void HeapSort(int arr[], int n) {
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        AdjustUp(arr, i);   // 傳入數(shù)組 和 child的下標(biāo)
    }
}

我們不需要從 0 開始調(diào)，從 1 開始調(diào)。所以 i 的起始值設(shè)置為 1 。此時，小堆就構(gòu)建好了。

方法2：向下調(diào)整

向下調(diào)整算法我們在堆那個章節(jié)也學(xué)過了，這里我們再來復(fù)習(xí)一下：

void SmallAjustDown(int* arr, int n, int parent) {
    int child = parent * 2 + 1; // 默認(rèn)為左孩子
    while(child < n) { // 葉子內(nèi)
        // 選出左右孩子中小的那一個
        if(child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child]) {
            child = child + 1;
        }
        // 如果孩子小于父親（不符合小堆的性質(zhì)）
        if(arr[child] < arr[parent]) {  
            // 交換它們的值
            Swap(&arr[child], &arr[parent]);
            // 往下走
            parent = child;
            child = parent * 2 + 1;
        } else { // 如果孩子大于父親（符合小堆的性質(zhì)）
            // 跳出循環(huán)
            break;
        }
    }
}

① 因為要考慮左孩子還是右孩子，我們可以定義兩個變量，分別記錄左孩子和有孩子。但是我們這里可以用更好的方法，只需要定義一個孩子即可。具體實現(xiàn)方法如下：首先創(chuàng)建 child，我們先默認(rèn)它是左孩子，利用傳進來的 parent 根據(jù)公式計算出 child 的大?。?/p>

$child = parent * 2 + 1$

因為我們暫且默認(rèn)為左孩子，我們隨后進入循環(huán)后要進行檢查，看看是左孩子大還是右孩子大，這里我們只需要根據(jù)數(shù)組的性質(zhì)，將 child + 1 即可得到右孩子的下標(biāo)，從而方便我們進行比較。比較完畢后將 child 重新賦值，拿個孩子小就將 child 給誰。

② 一共有兩個結(jié)束條件（出口），第一個結(jié)束條件是父親小于孩子就停止，第二個結(jié)束條件是chi調(diào)整到葉子。所以，循環(huán)體判斷部分根據(jù)我們分析的結(jié)束條件，如果調(diào)整到葉子就結(jié)束，我們接受了 n，也就是數(shù)組的大小，只要 child 超過數(shù)組的大?。╟hild > n）就結(jié)束，這是第一個出口。

③ 進入循環(huán)后，對比左孩子和右孩子哪一個更小，child 就交付給誰。這里還要注意的是，要防止孩子不存在的情況，如果 child + 1 比 n 大，就說明孩子不存在。所以我們再寫 if 判斷條件的時候就要注意了，我們加一個 child + 1 < n 的條件限制一下：

 if(child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child]) {...}

④ 確認(rèn)好較小的孩子后，我們就可以開始比較孩子和父親的大小了。如果孩子小于父親，就不符合小堆的性質(zhì)，我們就要交換它們的值。這里我們直接調(diào)用我們剛才寫的 Swap 接口即可，這就是為什么在寫向上調(diào)整的時候要我們單獨把交換部分的代碼寫成函數(shù)的原因。

⑤ 交換完畢后，他們的值已經(jīng)互相交換好了，這時我們要改變 parent 和 child 的指向，讓它們往下走，parent = child ，child 再次根據(jù)公式算出新的 child 即可。

⑥ 設(shè)計下 if 的 else 部分，如果數(shù)組的 child 的值大于 parent 的值，說明符合小堆的性質(zhì)了， break 跳出循環(huán)即可，這是第二個出口。

向下調(diào)整算法的前提：左右子樹必須都是小堆

如果左子樹和右子樹不是小堆，怎么辦？

可以用遞歸解決，但是我們能用循環(huán)就用循環(huán)來解決：

葉子所在的子樹是不需要調(diào)的。所以，我們從倒著走的第一個非葉子結(jié)點的子樹開始調(diào)。

（所以我們先調(diào)整30）

為了能夠演示得更明顯，我們再給數(shù)組再加點數(shù)據(jù)，假設(shè)我們需要對以下數(shù)組排序：

這里，我們找到了15。

…… 下標(biāo)不斷地 - - 后：

由于，從倒著走的第一個非葉子結(jié)點的子樹開始調(diào)，即，最后一個節(jié)點的父親。

我們已知最后一個節(jié)點的下標(biāo)為： $n-1$

那么，我們可以通過公式計算出他父親的下標(biāo)： $parent = \frac{child -1}{2} \rightarrow \frac{\, \, \, [\, \, (n-1)-1\, \, ]\, \, \, }{2}$

?? 方法2：

/* 升序 */
void HeapSort(int arr[], int n) {
    for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) {
        AdjustDown(arr, n, i);
    }
}

? 這么寫或許可以看得更明白：

/* 升序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
	int father = ((sz - 1) - 1) / 2;  // 計算出最后一個葉子節(jié)點的父親
	while (father >= 0) {
		AdjustDown(arr, sz, father);
		father--;
	}
}

?? 測試堆是否創(chuàng)建好了：

我們這里選擇使用方法2。此外，我們剛才實現(xiàn)的是小堆。

#include <stdio.h>
 
/* 交換函數(shù) */
void Swap(int* px, int* py) {
    int tmp = *px;
    *px = *py;
    *py = tmp;
}
 
/* 小堆下調(diào) */
void AdjustDown(int arr[], int sz, int father_idx) {
    int child_idx = father_idx * 2 + 1;                                        // 計算出左孩子的值（默認(rèn)認(rèn)為左孩子大）
    while (child_idx < sz) {                                                   // 最壞情況：調(diào)到葉子（child >= 數(shù)組范圍時必然已經(jīng)調(diào)到葉子）
        if ((child_idx + 1 < sz) && (arr[child_idx + 1] < arr[child_idx])) {   // 如果右孩子存在且右孩子比左孩子小
            child_idx = child_idx + 1;                                         // 讓其代表右孩子
        }
        if (arr[child_idx] < arr[father_idx]) {                                // 如果孩子的值小于父親的值（大符合小堆的性質(zhì)）
            Swap(&arr[child_idx], &arr[father_idx]);                           // 交換它們的值
            /* 往下走 */
            father_idx = child_idx;                                            // 更新下標(biāo)
            child_idx = father_idx * 2 + 1;                                    // 計算出該節(jié)點路線的新父親
        } else {                                                               // 如果孩子的值大于父親的值（符合小堆的性質(zhì)）
            break;                                                             // 終止循環(huán)
        }
    }
}
 
/* 升序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
	/* 創(chuàng)建大堆，選出最大的數(shù)  O(N)  */
	int father = ((sz - 1) - 1) / 2;  // 計算出最后一個葉子節(jié)點的父親
	while (father >= 0) {
		AdjustDown(arr, sz, father);
		father--;
	}
}
 
void HeapPrint(int arr[], int sz) {
    for (int i = 0; i < sz; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
}
 
int main(void)
{
    int arr[] = {70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69};
    int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
 
    HeapSort(arr, sz);
    HeapPrint(arr, sz);
 
    return 0; 
}

?? 運行結(jié)果：10 15 30 25 56 70 75 33 50 69

第二步：排序

剛才介紹了兩種方法來構(gòu)建堆，現(xiàn)在堆已經(jīng)構(gòu)建完畢了，我們可以開始設(shè)計排序部分的算法了。

? 如果排升序，建小堆……

① 選出最小的數(shù)，放到第一個位置，這很簡單，直接取頂部就可以得到最小的數(shù)。

② 但問題來了，如何選出次小的數(shù)呢？

從 15 開始，剩下的元素看作一個堆。但是這之前建立好的堆關(guān)系全部亂了！你還得重新建堆，才能選出次小的數(shù)。建堆的時間復(fù)雜度為 ${\color{Red} O}({\color{Blue} N})$ ，需要不斷地建堆 $N \, \, N-1 \, \, N-2 \, \, N-4 ...$ 則用小堆的時間復(fù)雜度就是 ${\color{Red} O}({\color{Blue} N }*{\color{Blue} N})$ ，這太離譜了！搞了一大圈結(jié)果居然是 $N*N$ ，還不如直接遍歷選出來的方便呢。

建小堆來排升序是完全可以的，但是效率太低！完全沒有體現(xiàn)出你用堆的優(yōu)勢！

? 解決方法：使用大堆來排升序！

?? 我們剛才已經(jīng)實現(xiàn)好小堆了，根據(jù)上一節(jié)學(xué)到的知識，小堆要變成大堆，直接把剛才的代碼的 "<" 改成 ">" 即可：

#include <stdio.h>
 
/* 交換函數(shù) */
void Swap(int* px, int* py) {
    int tmp = *px;
    *px = *py;
    *py = tmp;
}
 
/* 大堆下調(diào) */
void AdjustDown(int arr[], int sz, int father_idx) {
    int child_idx = father_idx * 2 + 1;                                        // 計算出左孩子的值（默認(rèn)認(rèn)為左孩子大）
    while (child_idx < sz) {                                                   // 最壞情況：調(diào)到葉子（child >= 數(shù)組范圍時必然已經(jīng)調(diào)到葉子）
        if ((child_idx + 1 < sz) && (arr[child_idx + 1] > arr[child_idx])) {   // 如果右孩子存在且右孩子比左孩子大
            child_idx = child_idx + 1;                                         // 讓其代表右孩子
        }
        if (arr[child_idx] > arr[father_idx]) {                                // 如果孩子的值大于父親的值（不符合大堆的性質(zhì)）
            Swap(&arr[child_idx], &arr[father_idx]);                           // 交換它們的值
            /* 往下走 */
            father_idx = child_idx;                                            // 更新下標(biāo)
            child_idx = father_idx * 2 + 1;                                    // 計算出該節(jié)點路線的新父親
        } else {                                                               // 如果孩子的值小于父親的值（符合大堆的性質(zhì)）
            break;                                                             // 終止循環(huán)
        }
    }
}
 
/* 升序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
	/* 創(chuàng)建大堆，選出最大的數(shù)  O(N)  */
	int father = ((sz - 1) - 1) / 2;  // 計算出最后一個葉子節(jié)點的父親
	while (father >= 0) {
		AdjustDown(arr, sz, father);
		father--;
	}
 
}
 
void PrintArray(int arr[], int sz) {
    for (int i = 0; i < sz; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
}
 
int main(void)
{
    int arr[] = {70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69};
    int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
 
    HeapSort(arr, sz);
    PrintArray(arr, sz);
 
    return 0; 
}

?? 運行結(jié)果：75 69 70 50 56 10 30 33 25 15

?? 現(xiàn)在改成了大堆，我們要排升序，我們可以讓堆頂數(shù)和最后的數(shù)進行交換：

這并不會帶來堆結(jié)構(gòu)的破壞！我們把75不看作堆的一部分即可。再進行向下調(diào)整，就可以找到次小的數(shù)了。此時時間復(fù)雜度為

${\color{Red} O}({\color{Blue} N} * log{\color{Blue} N})$

?? 步驟總結(jié)：

① 建大堆，選出最大的數(shù)。

② 最大的數(shù)跟最后一個數(shù)交換。

③ 如何選出次大的數(shù)呢？把最后一個數(shù)不看作堆里面，進行向下調(diào)整。

?? 代碼實現(xiàn)（用 while）：

/* 堆排序 - 升序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
	/* 創(chuàng)建大堆，選出最大的數(shù)  O(N)  */
	int father = ((sz - 1) - 1) / 2;  // 計算出最后一個葉子節(jié)點的父親
	while (father >= 0) {
		AdjustDown(arr, sz, father);
		father--;
	}
 
	/* 依次選數(shù)，調(diào)堆   O(N * logN)  */
	int end = sz - 1;
	while (end > 0) {
		Swap(&arr[0], &arr[end]);      // 最大的數(shù)跟最后一個數(shù)交換
		AdjustDown(arr, end, 0);       // 調(diào)堆，選出次大的數(shù)
		end--;
	}
}

?? 代碼實現(xiàn)（用 for）：

void HeapSort(int arr[], int sz) {
	/* 建堆 */
	for (int father = (sz - 1 - 1) / 2; father >= 0; father--) {
		AdjustDown(arr, sz, father);
	}
	/* 排序 */
	for (int end = sz - 1; end > 0; end--) {
		Swap(&arr[0], &arr[end]);   // 最大的數(shù)跟最后一個數(shù)交換
		AdjustDown(arr, end, 0);    // 調(diào)堆，選出次大的數(shù)
	}
}

三、完整代碼

（排升序要建大堆，排降序建小堆）

?? 升序：使用大堆

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
 
void Swap(int* pa, int* pb) {
	int tmp = *pa;
	*pa = *pb;
	*pb = tmp;
}
 
void AdjustDown(int arr[], int sz, int father) {
	int child = father * 2 + 1;
	while (child < sz) {
		if (child + 1 < sz && arr[child + 1] > arr[child]) {
			child += 1;
		}
		if (arr[child] > arr[father]) {
			Swap(&arr[child], &arr[father]);
			father = child;
			child = father * 2 + 1;
		}
		else {
			break;
		}
	}
}
 
/* 堆排序 - 升序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
	/* 創(chuàng)建大堆，選出最大的數(shù)  O(N)  */
	int father = ((sz - 1) - 1) / 2;  // 計算出最后一個葉子節(jié)點的父親
	while (father >= 0) {
		AdjustDown(arr, sz, father);
		father--;
	}
 
	/* 依次選數(shù)，調(diào)堆   O(N * logN)  */
	int end = sz - 1;
	while (end > 0) {
		Swap(&arr[0], &arr[end]);      // 最大的數(shù)跟最后一個數(shù)交換
		AdjustDown(arr, end, 0);       // 調(diào)堆，選出次大的數(shù)
		end--;
	}
}
 
void HeapPrint(int arr[], int sz) {
	int i = 0;
	for (i = 0; i < sz; i++) {
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	printf("\n");
}
 
int main(void)
{
	int arr[] = { 70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69 };
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
 
	printf("排序前: ");
	HeapPrint(arr, sz);
 
	HeapSort(arr, sz);
 
	printf("排序后: ");
	HeapPrint(arr, sz);
 
	return 0;
}

?? 運行結(jié)果：

? 如果要排降序呢？使用小堆即可！

?? 降序：使用小堆

#include <stdio.h>
 
/* 交換函數(shù) */
void Swap(int* px, int* py) {
    int tmp = *px;
    *px = *py;
    *py = tmp;
}
 
/* 小堆下調(diào) */
void AdjustDown(int arr[], int sz, int father_idx) {
    int child_idx = father_idx * 2 + 1;                                        // 計算出左孩子的值（默認(rèn)認(rèn)為左孩子大）
    while (child_idx < sz) {                                                   // 最壞情況：調(diào)到葉子（child >= 數(shù)組范圍時必然已經(jīng)調(diào)到葉子）
        if ((child_idx + 1 < sz) && (arr[child_idx + 1] < arr[child_idx])) {   // 如果右孩子存在且右孩子比左孩子小
            child_idx = child_idx + 1;                                         // 讓其代表右孩子
        }
        if (arr[child_idx] < arr[father_idx]) {                                // 如果孩子的值小于父親的值（不符合小堆的性質(zhì)）
            Swap(&arr[child_idx], &arr[father_idx]);                           // 交換它們的值
            /* 往下走 */
            father_idx = child_idx;                                            // 更新下標(biāo)
            child_idx = father_idx * 2 + 1;                                    // 計算出該節(jié)點路線的新父親
        }
        else {                                                               // 如果孩子的值大于父親的值（符合小堆的性質(zhì)）
            break;                                                             // 終止循環(huán)
        }
    }
}
 
/* 堆排序 - 降序 */
void HeapSort(int arr[], int sz) {
	/* 創(chuàng)建大堆，選出最大的數(shù)  O(N)  */
	int father = ((sz - 1) - 1) / 2;  // 計算出最后一個葉子節(jié)點的父親
	while (father >= 0) {
		AdjustDown(arr, sz, father);
		father--;
	}
 
	/* 依次選數(shù)，調(diào)堆   O(N * logN)  */
	int end = sz - 1;
	while (end > 0) {
		Swap(&arr[0], &arr[end]);      // 最大的數(shù)跟最后一個數(shù)交換
		AdjustDown(arr, end, 0);   // 調(diào)堆，選出次小的數(shù)
		end--;
	}
}
void PrintArray(int arr[], int sz) {
    for (int i = 0; i < sz; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
}
 
int main(void)
{
    int arr[] = { 70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69 };
    int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
 
    printf("排序前: ");
    PrintArray(arr, sz);
 
    HeapSort(arr, sz);
 
    printf("排序后: ");
    PrintArray(arr, sz);
 
    return 0;
}

?? 運行結(jié)果：