1、哈希函數(shù)的引入

大家都用過(guò)字典，字典的優(yōu)點(diǎn)是我們可以通過(guò)前面的目錄快速定位到所要查找的單詞。如果我們想把一本英文字典的每個(gè)單詞，從 a 到 zyzzyva(這是牛津字典的最后一個(gè)單詞)，都寫入計(jì)算機(jī)內(nèi)存，以便快速讀寫，那么哈希表是個(gè)不錯(cuò)的選擇。

這里我們將范圍縮小點(diǎn)，比如想在內(nèi)存中存儲(chǔ)5000個(gè)英文單詞。我們可能想到每個(gè)單詞會(huì)占用一個(gè)數(shù)組單元，那么數(shù)組的大小是5000，同時(shí)可以用數(shù)組下標(biāo)存取單詞，這樣設(shè)想很完美，但是數(shù)組下標(biāo)和單詞怎么建立聯(lián)系呢？

首先我們要建立單詞和數(shù)字（數(shù)組下標(biāo)）的關(guān)系：

我們知道 ASCII 是一種編碼，其中 a 表示97，b表示98，以此類推，一直到122表示z，而每個(gè)單詞都是由這26個(gè)字母組成，我們可以不用 ASCII 編碼那么大的數(shù)字，自己設(shè)計(jì)一套類似 ASCII的編碼，比如a表示1，b表示2，依次類推，z表示26，那么表示方法我們就知道了。

接下來(lái)如何把單個(gè)字母的數(shù)字組合成代表整個(gè)單詞的數(shù)字呢？

①、把數(shù)字相加

首先第一種簡(jiǎn)單的方法就是把單詞的每個(gè)字母表示的數(shù)字相加，得到的和便是數(shù)組的下標(biāo)。

比如單詞 cats 轉(zhuǎn)換成數(shù)字：

cats = 3 + 1 + 20 + 19 = 43

那么單詞 cats 存儲(chǔ)在數(shù)組中的下標(biāo)為43，所有的英文單詞都可以用這個(gè)辦法轉(zhuǎn)換成數(shù)組下標(biāo)。但是這個(gè)辦法真的可行嗎？

假設(shè)我們約定一個(gè)單詞最多有 10 個(gè)字母，那么字典的最后一個(gè)單詞為 zzzzzzzzzz ，其轉(zhuǎn)換為數(shù)字：

zzzzzzzzzz = 26*10 = 260

那么我們可以得到單詞編碼的范圍是從1-260。很顯然，這個(gè)范圍是不夠存儲(chǔ)5000個(gè)單詞的，那么肯定有一個(gè)位置存儲(chǔ)了多個(gè)單詞，每個(gè)數(shù)組的數(shù)據(jù)項(xiàng)平均要存儲(chǔ)192個(gè)單詞（5000除以260）。

對(duì)于上面的問(wèn)題，我們?nèi)绾谓鉀Q呢？

第一種方法：考慮每個(gè)數(shù)組項(xiàng)包含一個(gè)子數(shù)組或者一個(gè)子鏈表，這個(gè)辦法存數(shù)據(jù)項(xiàng)確實(shí)很快，但是如果我們想要從192個(gè)單詞中查找到其中一個(gè)，那么還是很慢。

第二種方法：為啥要讓那么多單詞占據(jù)同一個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)呢？也就是說(shuō)我們沒(méi)有把單詞分的足夠開，數(shù)組能表示的元素太少，我們需要擴(kuò)展數(shù)組的下標(biāo)，使其每個(gè)位置都只存放一個(gè)單詞。

對(duì)于上面的第二種方法，問(wèn)題產(chǎn)生了，我們?nèi)绾螖U(kuò)展數(shù)組的下標(biāo)呢？

②、冪的連乘

我們將單詞表示的數(shù)拆成數(shù)列，用適當(dāng)?shù)?27 的冪乘以這些位數(shù)（因?yàn)橛?6個(gè)可能的字符，以及空格，一共27個(gè)），然后把乘積相加，這樣就得出了每個(gè)單詞獨(dú)一無(wú)二的數(shù)字。

比如把單詞cats 轉(zhuǎn)換為數(shù)字：

cats = 3*273 + 1*272 + 20*271 + 19*270 = 59049 + 729 + 540 + 19 = 60337

這個(gè)過(guò)程會(huì)為每個(gè)單詞創(chuàng)建一個(gè)獨(dú)一無(wú)二的數(shù)，但是注意的是我們這里只是計(jì)算了 4 個(gè)字母組成的單詞，如果單詞很長(zhǎng)，比如最長(zhǎng)的10個(gè)字母的單詞 zzzzzzzzzz，僅僅是279 結(jié)果就超出了7000000000000，這個(gè)結(jié)果是很巨大的，在實(shí)際內(nèi)存中，根本不可能為一個(gè)數(shù)組分配這么大的空間。

所以這個(gè)方案的問(wèn)題就是雖然為每個(gè)單詞都分配了獨(dú)一無(wú)二的下標(biāo)，但是只有一小部分存放了單詞，很大一部分都是空著的。那么現(xiàn)在就需要一種方法，把數(shù)位冪的連乘系統(tǒng)中得到的巨大的整數(shù)范圍壓縮到可接受的數(shù)組范圍中。

對(duì)于英語(yǔ)字典，假設(shè)只有5000個(gè)單詞，這里我們選定容量為10000 的數(shù)組空間來(lái)存放（后面會(huì)介紹為啥需要多出一倍的空間）。那么我們就需要將從 0 到超過(guò) 7000000000000 的范圍，壓縮到從0到10000的范圍。

第一種方法：取余，得到一個(gè)數(shù)被另一個(gè)整數(shù)除后的余數(shù)。首先我們假設(shè)要把從0-199的數(shù)字（用largeNumber表示），壓縮為從0-9的數(shù)字（用smallNumber表示），后者有10個(gè)數(shù)，所以變量smallRange 的值為10，這個(gè)轉(zhuǎn)換的表達(dá)式為：

smallNumber = largeNumber % smallRange

當(dāng)一個(gè)數(shù)被 10 整除時(shí)，余數(shù)一定在0-9之間，這樣，我們就把從0-199的數(shù)壓縮為從0-9的數(shù)，壓縮率為 20 :1。

我們也可以用類似的方法把表示單詞唯一的數(shù)壓縮成數(shù)組的下標(biāo)：

arrayIndex = largerNumber % smallRange

這也就是哈希函數(shù)。它把一個(gè)大范圍的數(shù)字哈希（轉(zhuǎn)化）成一個(gè)小范圍的數(shù)字，這個(gè)小范圍的數(shù)對(duì)應(yīng)著數(shù)組的下標(biāo)。使用哈希函數(shù)向數(shù)組插入數(shù)據(jù)后，這個(gè)數(shù)組就是哈希表。

2、沖突

把巨大的數(shù)字范圍壓縮到較小的數(shù)字范圍，那么肯定會(huì)有幾個(gè)不同的單詞哈?；酵粋€(gè)數(shù)組下標(biāo)，即產(chǎn)生了沖突。

沖突可能會(huì)導(dǎo)致哈?；桨笩o(wú)法實(shí)施，前面我們說(shuō)指定的數(shù)組范圍大小是實(shí)際存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的兩倍，因此可能有一半的空間是空著的，所以，當(dāng)沖突產(chǎn)生時(shí)，一個(gè)方法是通過(guò)系統(tǒng)的方法找到數(shù)組的一個(gè)空位，并把這個(gè)單詞填入，而不再用哈希函數(shù)得到數(shù)組的下標(biāo)，這種方法稱為開放地址法。比如加入單詞 cats 哈?；慕Y(jié)果為5421，但是它的位置已經(jīng)被單詞parsnip占用了，那么我們會(huì)考慮將單詞 cats 存放在parsnip后面的一個(gè)位置 5422 上。

另一種方法，前面我們也提到過(guò)，就是數(shù)組的每個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)都創(chuàng)建一個(gè)子鏈表或子數(shù)組，那么數(shù)組內(nèi)不直接存放單詞，當(dāng)產(chǎn)生沖突時(shí)，新的數(shù)據(jù)項(xiàng)直接存放到這個(gè)數(shù)組下標(biāo)表示的鏈表中，這種方法稱為鏈地址法。

3、開放地址法

開發(fā)地址法中，若數(shù)據(jù)項(xiàng)不能直接存放在由哈希函數(shù)所計(jì)算出來(lái)的數(shù)組下標(biāo)時(shí)，就要尋找其他的位置。分別有三種方法：線性探測(cè)、二次探測(cè)以及再哈希法。

①、線性探測(cè)

在線性探測(cè)中，它會(huì)線性的查找空白單元。比如如果 5421 是要插入數(shù)據(jù)的位置，但是它已經(jīng)被占用了，那么就使用5422，如果5422也被占用了，那么使用5423，以此類推，數(shù)組下標(biāo)依次遞增，直到找到空白的位置。這就叫做線性探測(cè)，因?yàn)樗刂鴶?shù)組下標(biāo)一步一步順序的查找空白單元。

完整代碼：

需要注意的是，當(dāng)哈希表變得太滿時(shí)，我們需要擴(kuò)展數(shù)組，但是需要注意的是，數(shù)據(jù)項(xiàng)不能放到新數(shù)組中和老數(shù)組相同的位置，而是要根據(jù)數(shù)組大小重新計(jì)算插入位置。這是一個(gè)比較耗時(shí)的過(guò)程，所以一般我們要確定數(shù)據(jù)的范圍，給定好數(shù)組的大小，而不再擴(kuò)容。

另外，當(dāng)哈希表變得比較滿時(shí)，我們每插入一個(gè)新的數(shù)據(jù)，都要頻繁的探測(cè)插入位置，因?yàn)榭赡芎芏辔恢枚急磺懊娌迦氲臄?shù)據(jù)所占用了，這稱為聚集。數(shù)組填的越滿，聚集越可能發(fā)生。

這就像人群，當(dāng)某個(gè)人在商場(chǎng)暈倒時(shí)，人群就會(huì)慢慢聚集。最初的人群聚過(guò)來(lái)是因?yàn)榭吹搅四莻€(gè)倒下的人，而后面聚過(guò)來(lái)的人是因?yàn)樗鼈兿胫肋@些人聚在一起看什么。人群聚集的越大，吸引的人就會(huì)越多。

②、裝填因子

已填入哈希表的數(shù)據(jù)項(xiàng)和表長(zhǎng)的比率叫做裝填因子，比如有10000個(gè)單元的哈希表填入了6667 個(gè)數(shù)據(jù)后，其裝填因子為 2/3。當(dāng)裝填因子不太大時(shí)，聚集分布的比較連貫，而裝填因子比較大時(shí)，則聚集發(fā)生的很大了。

我們知道線性探測(cè)是一步一步的往后面探測(cè)，當(dāng)裝填因子比較大時(shí)，會(huì)頻繁的產(chǎn)生聚集，那么如果我們探測(cè)比較大的單元，而不是一步一步的探測(cè)呢，這就是下面要講的二次探測(cè)。

③、二次探測(cè)

二測(cè)探測(cè)是防止聚集產(chǎn)生的一種方式，思想是探測(cè)相距較遠(yuǎn)的單元，而不是和原始位置相鄰的單元。

線性探測(cè)中，如果哈希函數(shù)計(jì)算的原始下標(biāo)是x, 線性探測(cè)就是x+1, x+2, x+3, 以此類推；而在二次探測(cè)中，探測(cè)的過(guò)程是x+1, x+4, x+9, x+16，以此類推，到原始位置的距離是步數(shù)的平方。二次探測(cè)雖然消除了原始的聚集問(wèn)題，但是產(chǎn)生了另一種更細(xì)的聚集問(wèn)題，叫二次聚集：比如講184，302，420和544依次插入表中，它們的映射都是7，那么302需要以1為步長(zhǎng)探測(cè)，420需要以4為步長(zhǎng)探測(cè)， 544需要以9為步長(zhǎng)探測(cè)。只要有一項(xiàng)其關(guān)鍵字映射到7，就需要更長(zhǎng)步長(zhǎng)的探測(cè)，這個(gè)現(xiàn)象叫做二次聚集。二次聚集不是一個(gè)嚴(yán)重的問(wèn)題，但是二次探測(cè)不會(huì)經(jīng)常使用，因?yàn)檫€有好的解決方法，比如再哈希法。

④、再哈希法

為了消除原始聚集和二次聚集，我們使用另外一種方法：再哈希法。

我們知道二次聚集的原因是，二測(cè)探測(cè)的算法產(chǎn)生的探測(cè)序列步長(zhǎng)總是固定的：1,4，9,16以此類推。那么我們想到的是需要產(chǎn)生一種依賴關(guān)鍵字的探測(cè)序列，而不是每個(gè)關(guān)鍵字都一樣，那么，不同的關(guān)鍵字即使映射到相同的數(shù)組下標(biāo)，也可以使用不同的探測(cè)序列。

方法是把關(guān)鍵字用不同的哈希函數(shù)再做一遍哈?；眠@個(gè)結(jié)果作為步長(zhǎng)。對(duì)于指定的關(guān)鍵字，步長(zhǎng)在整個(gè)探測(cè)中是不變的，不過(guò)不同的關(guān)鍵字使用不同的步長(zhǎng)。

第二個(gè)哈希函數(shù)必須具備如下特點(diǎn)：

一、和第一個(gè)哈希函數(shù)不同

二、不能輸出0（否則，將沒(méi)有步長(zhǎng)，每次探測(cè)都是原地踏步，算法將陷入死循環(huán)）。

專家們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)下面形式的哈希函數(shù)工作的非常好：stepSize = constant - key % constant; 其中constant是質(zhì)數(shù)，且小于數(shù)組容量。
　　再哈希法要求表的容量是一個(gè)質(zhì)數(shù)，假如表長(zhǎng)度為15(0-14)，非質(zhì)數(shù)，有一個(gè)特定關(guān)鍵字映射到0，步長(zhǎng)為5，則探測(cè)序列是0,5,10,0,5,10,以此類推一直循環(huán)下去。算法只嘗試這三個(gè)單元，所以不可能找到某些空白單元，最終算法導(dǎo)致崩潰。如果數(shù)組容量為13, 質(zhì)數(shù)，探測(cè)序列最終會(huì)訪問(wèn)所有單元。即0,5,10,2,7,12,4,9,1,6,11,3,一直下去，只要表中有一個(gè)空位，就可以探測(cè)到它。

完整再哈希法代碼：

package com.ys.hash;
public class HashDouble {
    private DataItem[] hashArray;   //DataItem類，表示每個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)信息
    private int arraySize;//數(shù)組的初始大小
    private int itemNum;//數(shù)組實(shí)際存儲(chǔ)了多少項(xiàng)數(shù)據(jù)
    private DataItem nonItem;//用于刪除數(shù)據(jù)項(xiàng)
    public HashDouble(){
        this.arraySize = 13;
        hashArray = new DataItem[arraySize];
        nonItem = new DataItem(-1);//刪除的數(shù)據(jù)項(xiàng)下標(biāo)為-1
    }
    //判斷數(shù)組是否存儲(chǔ)滿了
    public boolean isFull(){
        return (itemNum == arraySize);
    }
    //判斷數(shù)組是否為空
    public boolean isEmpty(){
        return (itemNum == 0);
    }
    //打印數(shù)組內(nèi)容
    public void display(){
        System.out.println("Table:");
        for(int j = 0 ; j < arraySize ; j++){
            if(hashArray[j] != null){
                System.out.print(hashArray[j].getKey() + " ");
            }else{
                System.out.print("** ");
            }
        }
    }
    //通過(guò)哈希函數(shù)轉(zhuǎn)換得到數(shù)組下標(biāo)
    public int hashFunction1(int key){
        return key%arraySize;
    }
    public int hashFunction2(int key){
        return 5 - key%5;
    }
    //插入數(shù)據(jù)項(xiàng)
    public void insert(DataItem item){
        if(isFull()){
            //擴(kuò)展哈希表
            System.out.println("哈希表已滿，重新哈?；?..");
            extendHashTable();
        }
        int key = item.getKey();
        int hashVal = hashFunction1(key);
        int stepSize = hashFunction2(key);//用第二個(gè)哈希函數(shù)計(jì)算探測(cè)步數(shù)
        while(hashArray[hashVal] != null && hashArray[hashVal].getKey() != -1){
            hashVal += stepSize;
            hashVal %= arraySize;//以指定的步數(shù)向后探測(cè)
        }
        hashArray[hashVal] = item;
        itemNum++;
    }
    /**
     * 數(shù)組有固定的大小，而且不能擴(kuò)展，所以擴(kuò)展哈希表只能另外創(chuàng)建一個(gè)更大的數(shù)組，然后把舊數(shù)組中的數(shù)據(jù)插到新的數(shù)組中。
     * 但是哈希表是根據(jù)數(shù)組大小計(jì)算給定數(shù)據(jù)的位置的，所以這些數(shù)據(jù)項(xiàng)不能再放在新數(shù)組中和老數(shù)組相同的位置上。
     * 因此不能直接拷貝，需要按順序遍歷老數(shù)組，并使用insert方法向新數(shù)組中插入每個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)。
     * 這個(gè)過(guò)程叫做重新哈希化。這是一個(gè)耗時(shí)的過(guò)程，但如果數(shù)組要進(jìn)行擴(kuò)展，這個(gè)過(guò)程是必須的。
     */
    public void extendHashTable(){
        int num = arraySize;
        itemNum = 0;//重新計(jì)數(shù)，因?yàn)橄旅嬉言瓉?lái)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)移到新的擴(kuò)張的數(shù)組中
        arraySize *= 2;//數(shù)組大小翻倍
        DataItem[] oldHashArray = hashArray;
        hashArray = new DataItem[arraySize];
        for(int i = 0 ; i < num ; i++){
            insert(oldHashArray[i]);
        }
    }
    //刪除數(shù)據(jù)項(xiàng)
    public DataItem delete(int key){
        if(isEmpty()){
            System.out.println("Hash Table is Empty!");
            return null;
        }
        int hashVal = hashFunction1(key);
        int stepSize = hashFunction2(key);
        while(hashArray[hashVal] != null){
            if(hashArray[hashVal].getKey() == key){
                DataItem temp = hashArray[hashVal];
                hashArray[hashVal] = nonItem;//nonItem表示空Item,其key為-1
                itemNum--;
                return temp;
            }
            hashVal += stepSize;
            hashVal %= arraySize;
        }
        return null;
    }
    //查找數(shù)據(jù)項(xiàng)
    public DataItem find(int key){
        int hashVal = hashFunction1(key);
        int stepSize = hashFunction2(key);
        while(hashArray[hashVal] != null){
            if(hashArray[hashVal].getKey() == key){
                return hashArray[hashVal];
            }
            hashVal += stepSize;
            hashVal %= arraySize;
        }
        return null;
    }
    public static class DataItem{
        private int iData;
        public DataItem(int iData){
            this.iData = iData;
        }
        public int getKey(){
            return iData;
        }
    }
}

4、鏈地址法

在開放地址法中，通過(guò)再哈希法尋找一個(gè)空位解決沖突問(wèn)題，另一個(gè)方法是在哈希表每個(gè)單元中設(shè)置鏈表（即鏈地址法），某個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)的關(guān)鍵字值還是像通常一樣映射到哈希表的單元，而數(shù)據(jù)項(xiàng)本身插入到這個(gè)單元的鏈表中。其他同樣映射到這個(gè)位置的數(shù)據(jù)項(xiàng)只需要加到鏈表中，不需要在原始的數(shù)組中尋找空位。

有序鏈表：

package com.ys.hash;
public class SortLink {
    private LinkNode first;
    public SortLink(){
        first = null;
    }
    public boolean isEmpty(){
        return (first == null);
    }
    public void insert(LinkNode node){
        int key = node.getKey();
        LinkNode previous = null;
        LinkNode current = first;
        while(current != null && current.getKey() < key){
            previous = current;
            current = current.next;
        }
        if(previous == null){
            first = node;
        }else{
            previous.next = node;
        }
　　　　　　node.next = curent;
    }
    public void delete(int key){
        LinkNode previous = null;
        LinkNode current = first;
        if(isEmpty()){
            System.out.println("Linked is Empty!!!");
            return;
        }
        while(current != null && current.getKey() != key){
            previous = current;
            current = current.next;
        }
        if(previous == null){
            first = first.next;
        }else{
            previous.next = current.next;
        }
    }
    public LinkNode find(int key){
        LinkNode current = first;
        while(current != null && current.getKey() <= key){
            if(current.getKey() == key){
                return current;
            }
                        current = current.next;
        }
        return null;
    }
    public void displayLink(){
        System.out.println("Link(First->Last)");
        LinkNode current = first;
        while(current != null){
            current.displayLink();
            current = current.next;
        }
        System.out.println("");
    }
    class LinkNode{
        private int iData;
        public LinkNode next;
        public LinkNode(int iData){
            this.iData = iData;
        }
        public int getKey(){
            return iData;
        }
        public void displayLink(){
            System.out.println(iData + " ");
        }
    }
}

鏈地址法：

package com.ys.hash;
import com.ys.hash.SortLink.LinkNode;
public class HashChain {
    private SortLink[] hashArray;//數(shù)組中存放鏈表
    private int arraySize;
    public HashChain(int size){
        arraySize = size;
        hashArray = new SortLink[arraySize];
        //new 出每個(gè)空鏈表初始化數(shù)組
        for(int i = 0 ; i < arraySize ; i++){
            hashArray[i] = new SortLink();
        }
    }
    public void displayTable(){
        for(int i = 0 ; i < arraySize ; i++){
            System.out.print(i + "：");
            hashArray[i].displayLink();
        }
    }
    public int hashFunction(int key){
        return key%arraySize;
    }
    public void insert(LinkNode node){
        int key = node.getKey();
        int hashVal = hashFunction(key);
        hashArray[hashVal].insert(node);//直接往鏈表中添加即可
    }
    public LinkNode delete(int key){
        int hashVal = hashFunction(key);
        LinkNode temp = find(key);
        hashArray[hashVal].delete(key);//從鏈表中找到要?jiǎng)h除的數(shù)據(jù)項(xiàng)，直接刪除
        return temp;
    }
    public LinkNode find(int key){
        int hashVal = hashFunction(key);
        LinkNode node = hashArray[hashVal].find(key);
        return node;
    }
}

鏈地址法中，裝填因子（數(shù)據(jù)項(xiàng)數(shù)和哈希表容量的比值）與開放地址法不同，在鏈地址法中，需要有N個(gè)單元的數(shù)組中轉(zhuǎn)入N個(gè)或更多的數(shù)據(jù)項(xiàng)，因此裝填因子一般為1，或比1大（有可能某些位置包含的鏈表中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)項(xiàng)）。

找到初始單元需要O(1)的時(shí)間級(jí)別，而搜索鏈表的時(shí)間與M成正比，M為鏈表包含的平均項(xiàng)數(shù)，即O(M)的時(shí)間級(jí)別。

5、桶

另外一種方法類似于鏈地址法，它是在每個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)中使用子數(shù)組，而不是鏈表。這樣的數(shù)組稱為桶。

這個(gè)方法顯然不如鏈表有效，因?yàn)橥暗娜萘坎缓眠x擇，如果容量太小，可能會(huì)溢出，如果太大，又造成性能浪費(fèi)，而鏈表是動(dòng)態(tài)分配的，不存在此問(wèn)題。所以一般不使用桶。

6、總結(jié)

哈希表基于數(shù)組，類似于key-value的存儲(chǔ)形式，關(guān)鍵字值通過(guò)哈希函數(shù)映射為數(shù)組的下標(biāo)，如果一個(gè)關(guān)鍵字哈?；揭颜加玫臄?shù)組單元，這種情況稱為沖突。用來(lái)解決沖突的有兩種方法：開放地址法和鏈地址法。在開發(fā)地址法中，把沖突的數(shù)據(jù)項(xiàng)放在數(shù)組的其它位置；在鏈地址法中，每個(gè)單元都包含一個(gè)鏈表，把所有映射到同一數(shù)組下標(biāo)的數(shù)據(jù)項(xiàng)都插入到這個(gè)鏈表中。

本篇文章就到這里了，希望能夠給你帶來(lái)幫助，也希望您能夠多多關(guān)注腳本之家的更多內(nèi)容!