在上一篇博文《Python中的隨機(jī)采樣和概率分布(一)》中，我們介紹了Python中最簡單的隨機(jī)采樣函數(shù)。接下來我們更進(jìn)一步，來看看如何從一個概率分布中采樣，我們以幾個機(jī)器學(xué)習(xí)中最常用的概率分布為例。

1. 二項（binomial）/伯努利（Bernoulli）分布

1.1 概率質(zhì)量函數(shù)(pmf)

當(dāng)n=1時，則取到下列極限情況，是為參數(shù)為p的二項分布：

二項分布P(X=x; n, p)可以表示進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)n次，每次有兩成功和失敗可能結(jié)果（分別對應(yīng)概率p和1?p），共成功x次的概率。

1.2 函數(shù)原型

random.binomial(n, p, size=None)

參數(shù)：

n: int or array_like of ints ? 對應(yīng)分布函數(shù)中的參數(shù) n，>=0，浮點(diǎn)數(shù)會被截斷為整形。

p: float or array_like of floats ? 對應(yīng)分布函數(shù)參數(shù)p, >=0并且<=1。

size: int or tuple of ints, optional ? 如果給定形狀為(m,n,k)，那么m×n×k個隨機(jī)樣本會從中抽取。默認(rèn)為None，即返回一個一個標(biāo)量隨機(jī)樣本。

返回：

out: ndarray or scalar? 從帶參數(shù)的概率分布中采的隨機(jī)樣本，每個樣本表示獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)n次中成功的次數(shù)。

1.3 使用樣例

設(shè)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)10次，每次成功概率為0.5，采樣樣本表示總共的成功次數(shù)（相當(dāng)于扔10次硬幣，正面朝上的次數(shù)）?？偣膊?0個樣本。

import numpy as np
n, p = 10, .5  
s = np.random.binomial(n, p, 20)
print(s) # [4 5 6 5 4 2 4 6 7 2 4 4 2 4 4 7 6 3 5 6]

可以粗略的看到，樣本幾乎都在5周圍上下波動。

我們來看一個有趣的例子。一家公司鉆了9口井，每口井成功的概率為0.1，所有井都失敗了，發(fā)生這種情況的概率是多少？

我們總共采樣2000次，來看下產(chǎn)生0結(jié)果的概率。

s = sum(np.random.binomial(9, 0.1, 20000) == 0)/20000.
print(s) # 0.3823

可見，所有井失敗的概率為0.3823，這個概率還是蠻大的。

2. 多項（multinomial）分布

2.1 概率質(zhì)量函數(shù)(pmf)

當(dāng)k=2時，則取到下列極限情況，是為參數(shù)為n, p的二項分布：

也就是說，多項分布式二項分布的推廣：仍然是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)n次，但每次不只有成功和失敗兩種結(jié)果，而是k種可能的結(jié)果，每種結(jié)果的概率為p_i。多項分布是一個隨機(jī)向量的分布，x=(x₁,x₂,...,x_k)意為第i種結(jié)果出現(xiàn)x_i次，P(X=x; n, p)也就表示第i種結(jié)果出現(xiàn)x_i次的概率。

2.2 函數(shù)原型

random.multinomial(n, pvals, size=None)

參數(shù)：

n: int ? 對應(yīng)分布函數(shù)中的參數(shù) n。

pvals: sequence of floats ? 對應(yīng)分布函數(shù)參數(shù)p, 其長度等于可能的結(jié)果數(shù)k，并且有0?p_i?1。

size: int or tuple of ints, optional ? 為輸出形狀大小，因?yàn)椴沙龅拿總€樣本是一個隨機(jī)向量，默認(rèn)最后一維會自動加上k，如果給定形狀為(m,n)，那么m×n個維度為k的隨機(jī)向量會從中抽取。默認(rèn)為None，即返回一個一個k維的隨機(jī)向量。

返回：

out: ndarray ? 從帶參數(shù)的概率分布中采的隨機(jī)向量，長度為可能的結(jié)果數(shù)k，如果沒有給定 size，則shape為 (k,)。

2.3 使用樣例

設(shè)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)20次，每次情況的概率為1/6，采樣出的隨機(jī)向量表示每種情況出現(xiàn)次數(shù)（相當(dāng)于扔20次六面骰子，點(diǎn)數(shù)為0, 1, 2, ..., 5出現(xiàn)的次數(shù)）?？偣膊?個樣本。

s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6, size=1)
print(s) # [[4 2 2 3 5 4]]

當(dāng)然，如果不指定size，它直接就會返回一個一維向量了

s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6)
print(s) # [4 1 4 3 5 3]

如果像進(jìn)行多次采樣，改變 size即可：

s = np.random.multinomial(20, [1/6.]*6, size=(2, 2))
print(s)
# [[[4 3 4 2 6 1]
#   [5 2 1 6 3 3]]

#  [[5 4 1 1 6 3]
#   [2 5 2 5 4 2]]]

這個函數(shù)在論文<sup>[1]</sup>的實(shí)現(xiàn)代碼<sup>[2]</sup>中用來設(shè)置每一個 client分得的樣本數(shù)：

for cluster_id in range(n_clusters): 
    weights = np.random.dirichlet(alpha=alpha * np.ones(n_clients))
    clients_counts[cluster_id] = np.random.multinomial(clusters_sizes[cluster_id], weights)
    # 一共扔clusters_sizes[cluster_id]次篩子，該函數(shù)返回骰子落在某個client上各多少次，也就對應(yīng)著該client應(yīng)該分得的樣本數(shù)

3.均勻（uniform）分布

3.1 概率密度函數(shù)(pdf)

均勻分布可用于隨機(jī)地從連續(xù)區(qū)間[a,b)內(nèi)進(jìn)行采樣。

3.2 函數(shù)原型

random.uniform(low=0.0, high=1.0, size=None)

參數(shù)：

low: float or array_like of floats, optional ? 對應(yīng)分布函數(shù)中的下界參數(shù) a，默認(rèn)為0。

high: float or array_like of floats ? 對應(yīng)分布函數(shù)中的下界參數(shù) b，默認(rèn)為1.0。

size: int or tuple of ints, optional ? 為輸出形狀大小，如果給定形狀為(m,n,k)，那么m×n×k的樣本會從中抽取。默認(rèn)為None，即返回一個單一標(biāo)量。

返回：

out: ndarray or scalar ? 從帶參數(shù)的均勻分布中采的隨機(jī)樣本

3.3 使用樣例

s = np.random.uniform(-1,0,10)
print(s)
# [-0.9479594  -0.86158902 -0.63754099 -0.0883407  -0.92845644 -0.11148294
#  -0.19826197 -0.77396765 -0.26809953 -0.74734785]

4. 狄利克雷(Dirichlet)分布

4.1 概率密度函數(shù)(pdf)

4.2 函數(shù)原型

random.dirichlet(alpha, size=None)

參數(shù)：

alpha: sequence of floats, length k ? 對應(yīng)分布函數(shù)中的參數(shù)向量 α，長度為k。

size: int or tuple of ints, optional ? 為輸出形狀大小，因?yàn)椴沙龅拿總€樣本是一個隨機(jī)向量，默認(rèn)最后一維會自動加上k，如果給定形狀為(m,n)，那么m×n個維度為k的隨機(jī)向量會從中抽取。默認(rèn)為None，即返回一個一個k維的隨機(jī)向量。

返回：

out: ndarray ? 采出的樣本，大小為(size,k)。

4.3 使用樣例

設(shè)α=(10,5,3)(意味著k=3)，size=(2,2)，則采出的樣本為2×2個維度為k=3的隨機(jī)向量。

s = np.random.dirichlet((10, 5, 3), size=(2, 2))
print(s)
# [[[0.82327647 0.09820451 0.07851902]
#   [0.50861077 0.4503409  0.04104833]]

#  [[0.31843167 0.22436547 0.45720285]
#   [0.40981943 0.40349597 0.1866846 ]]]

這個函數(shù)在論文^[1]的實(shí)現(xiàn)代碼^[2]中用來生成符合狄利克雷分布的權(quán)重向量

for cluster_id in range(n_clusters): 
    # 為每個client生成一個權(quán)重向量，文章中分布參數(shù)alpha每一維都相同
    weights = np.random.dirichlet(alpha=alpha * np.ones(n_clients))
    clients_counts[cluster_id] = np.random.multinomial(clusters_sizes[cluster_id], weights)

參考文獻(xiàn)

[1] Marfoq O, Neglia G, Bellet A, et al. Federated multi-task learning under a mixture of distributions[J]. Advances in Neural Information Processing Systems, 2021, 34.

[2] https://github.com/omarfoq/FedEM

[3] https://www.python.org/

[4] https://numpy.org/

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