Python數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)模擬退火算法多變量函數(shù)優(yōu)化示例解析

更新時(shí)間：2021年10月18日 11:42:46 作者：youcans

模擬退火算法借鑒了統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的思想，是一種簡(jiǎn)單、通用的啟發(fā)式優(yōu)化算法，并在理論上具有概率性全局優(yōu)化性能，因而在科研和工程中得到了廣泛的應(yīng)用

1、模擬退火算法

退火是金屬?gòu)娜廴跔顟B(tài)緩慢冷卻、最終達(dá)到能量最低的平衡態(tài)的過(guò)程。模擬退火算法基于優(yōu)化問(wèn)題求解過(guò)程與金屬退火過(guò)程的相似性，以?xún)?yōu)化目標(biāo)為能量函數(shù)，以解空間為狀態(tài)空間，以隨機(jī)擾動(dòng)模擬粒子的熱運(yùn)動(dòng)來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題（[1] KIRKPATRICK,1988）。
模擬退火算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，由溫度更新函數(shù)、狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)、狀態(tài)接受函數(shù)和內(nèi)循環(huán)、外循環(huán)終止準(zhǔn)則構(gòu)成。

溫度更新函數(shù)是指退火溫度緩慢降低的實(shí)現(xiàn)方案，也稱(chēng)冷卻進(jìn)度表；
狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)是指由當(dāng)前解隨機(jī)產(chǎn)生新的候選解的方法；
狀態(tài)接受函數(shù)是指接受候選解的機(jī)制，通常采用Metropolis準(zhǔn)則；
外循環(huán)是由冷卻進(jìn)度表控制的溫度循環(huán)；
內(nèi)循環(huán)是在每一溫度下循環(huán)迭代產(chǎn)生新解的次數(shù)，也稱(chēng)Markov鏈長(zhǎng)度。

模擬退火算法的基本流程如下：

（1）初始化：初始溫度T，初始解狀態(tài)s，迭代次數(shù)L；
（2）對(duì)每個(gè)溫度狀態(tài)，重復(fù) L次循環(huán)產(chǎn)生和概率性接受新解：
（3）通過(guò)變換操作由當(dāng)前解s 產(chǎn)生新解s′；
（4）計(jì)算能量差 ∆E，即新解的目標(biāo)函數(shù)與原有解的目標(biāo)函數(shù)的差；
（5）若∆E <0則接受s′作為新的當(dāng)前解，否則以概率exp(-∆E/T) 接受s′ 作為新的當(dāng)前解；
（6）在每個(gè)溫度狀態(tài)完成 L次內(nèi)循環(huán)后，降低溫度 T，直到達(dá)到終止溫度。

2、多變量函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題

選取經(jīng)典的函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題和組合優(yōu)化問(wèn)題作為測(cè)試案例。

問(wèn)題 1：Schwefel 測(cè)試函數(shù)，是復(fù)雜的多峰函數(shù)，具有大量局部極值區(qū)域。
　　F(X)=418.9829×n-∑(i=1,n)〖xi* sin⁡(√(|xi|)) 〗
本文取 d=10, x=[-500,500]，函數(shù)在 X=(420.9687,…420.9687)處為全局最小值 f(X)=0.0。

使用模擬退火算法的基本方案：控制溫度按照 T(k) = a * T(k-1) 指數(shù)衰減，衰減系數(shù)取 a；如式（1）按照 Metropolis 準(zhǔn)則接受新解。對(duì)于問(wèn)題 1（Schwefel函數(shù)），通過(guò)對(duì)當(dāng)前解的一個(gè)自變量施加正態(tài)分布的隨機(jī)擾動(dòng)產(chǎn)生新解。

3、模擬退火算法 Python 程序

# 模擬退火算法 程序：多變量連續(xù)函數(shù)優(yōu)化
# Program: SimulatedAnnealing_v1.py
# Purpose: Simulated annealing algorithm for function optimization
# Copyright 2021 YouCans, XUPT
# Crated：2021-04-30
# = 關(guān)注 Youcans，分享原創(chuàng)系列 https://blog.csdn.net/youcans =
#  -*- coding: utf-8 -*-
import math                         # 導(dǎo)入模塊
import random                       # 導(dǎo)入模塊
import pandas as pd                 # 導(dǎo)入模塊
import numpy as np                  # 導(dǎo)入模塊 numpy，并簡(jiǎn)寫(xiě)成 np
import matplotlib.pyplot as plt     # 導(dǎo)入模塊 matplotlib.pyplot，并簡(jiǎn)寫(xiě)成 plt
from datetime import datetime
# 子程序：定義優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)
def cal_Energy(X, nVar):
    # 測(cè)試函數(shù) 1： Schwefel 測(cè)試函數(shù)
    # -500 <= Xi <= 500
    # 全局極值：(420.9687,420.9687,...),f(x)=0.0
    sum = 0.0
    for i in range(nVar):
        sum += X[i] * np.sin(np.sqrt(abs(X[i])))
    fx = 418.9829 * nVar - sum
    return fx
# 子程序：模擬退火算法的參數(shù)設(shè)置
def ParameterSetting():
    cName = "funcOpt"           # 定義問(wèn)題名稱(chēng)
    nVar = 2                    # 給定自變量數(shù)量，y=f(x1,..xn)
    xMin = [-500, -500]         # 給定搜索空間的下限，x1_min,..xn_min
    xMax = [500, 500]           # 給定搜索空間的上限，x1_max,..xn_max
    tInitial = 100.0            # 設(shè)定初始退火溫度(initial temperature)
    tFinal  = 1                 # 設(shè)定終止退火溫度(stop temperature)
    alfa    = 0.98              # 設(shè)定降溫參數(shù)，T(k)=alfa*T(k-1)
    meanMarkov = 100            # Markov鏈長(zhǎng)度，也即內(nèi)循環(huán)運(yùn)行次數(shù)
    scale   = 0.5               # 定義搜索步長(zhǎng)，可以設(shè)為固定值或逐漸縮小
    return cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale
# 模擬退火算法
def OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale):
    # ====== 初始化隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 ======
    randseed = random.randint(1, 100)
    random.seed(randseed)  # 隨機(jī)數(shù)發(fā)生器設(shè)置種子，也可以設(shè)為指定整數(shù)
    # ====== 隨機(jī)產(chǎn)生優(yōu)化問(wèn)題的初始解 ======
    xInitial = np.zeros((nVar))   # 初始化，創(chuàng)建數(shù)組
    for v in range(nVar):
        # random.uniform(min,max) 在 [min,max] 范圍內(nèi)隨機(jī)生成一個(gè)實(shí)數(shù)
        xInitial[v] = random.uniform(xMin[v], xMax[v])
    # 調(diào)用子函數(shù) cal_Energy 計(jì)算當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)值
    fxInitial = cal_Energy(xInitial, nVar)
    # ====== 模擬退火算法初始化 ======
    xNew = np.zeros((nVar))         # 初始化，創(chuàng)建數(shù)組
    xNow = np.zeros((nVar))         # 初始化，創(chuàng)建數(shù)組
    xBest = np.zeros((nVar))        # 初始化，創(chuàng)建數(shù)組
    xNow[:]  = xInitial[:]          # 初始化當(dāng)前解，將初始解置為當(dāng)前解
    xBest[:] = xInitial[:]          # 初始化最優(yōu)解，將當(dāng)前解置為最優(yōu)解
    fxNow  = fxInitial              # 將初始解的目標(biāo)函數(shù)置為當(dāng)前值
    fxBest = fxInitial              # 將當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)置為最優(yōu)值
    print('x_Initial:{:.6f},{:.6f},\tf(x_Initial):{:.6f}'.format(xInitial[0], xInitial[1], fxInitial))
    recordIter = []                 # 初始化，外循環(huán)次數(shù)
    recordFxNow = []                # 初始化，當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)值
    recordFxBest = []               # 初始化，最佳解的目標(biāo)函數(shù)值
    recordPBad = []                 # 初始化，劣質(zhì)解的接受概率
    kIter = 0                       # 外循環(huán)迭代次數(shù)，溫度狀態(tài)數(shù)
    totalMar = 0                    # 總計(jì) Markov 鏈長(zhǎng)度
    totalImprove = 0                # fxBest 改善次數(shù)
    nMarkov = meanMarkov            # 固定長(zhǎng)度 Markov鏈
    # ====== 開(kāi)始模擬退火優(yōu)化 ======
    # 外循環(huán)，直到當(dāng)前溫度達(dá)到終止溫度時(shí)結(jié)束
    tNow = tInitial                 # 初始化當(dāng)前溫度(current temperature)
    while tNow >= tFinal:           # 外循環(huán)，直到當(dāng)前溫度達(dá)到終止溫度時(shí)結(jié)束
        # 在當(dāng)前溫度下，進(jìn)行充分次數(shù)(nMarkov)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移以達(dá)到熱平衡
        kBetter = 0                 # 獲得優(yōu)質(zhì)解的次數(shù)
        kBadAccept = 0              # 接受劣質(zhì)解的次數(shù)
        kBadRefuse = 0              # 拒絕劣質(zhì)解的次數(shù)
        # ---內(nèi)循環(huán)，循環(huán)次數(shù)為Markov鏈長(zhǎng)度
        for k in range(nMarkov):    # 內(nèi)循環(huán)，循環(huán)次數(shù)為Markov鏈長(zhǎng)度
            totalMar += 1           # 總 Markov鏈長(zhǎng)度計(jì)數(shù)器
            # ---產(chǎn)生新解
            # 產(chǎn)生新解：通過(guò)在當(dāng)前解附近隨機(jī)擾動(dòng)而產(chǎn)生新解，新解必須在 [min,max] 范圍內(nèi)
            # 方案 1：只對(duì) n元變量中的一個(gè)進(jìn)行擾動(dòng)，其它 n-1個(gè)變量保持不變
            xNew[:] = xNow[:]
            v = random.randint(0, nVar-1)   # 產(chǎn)生 [0,nVar-1]之間的隨機(jī)數(shù)
            xNew[v] = xNow[v] + scale * (xMax[v]-xMin[v]) * random.normalvariate(0, 1)
            # random.normalvariate(0, 1)：產(chǎn)生服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為 1 的正態(tài)分布隨機(jī)實(shí)數(shù)
            xNew[v] = max(min(xNew[v], xMax[v]), xMin[v])  # 保證新解在 [min,max] 范圍內(nèi)
            # ---計(jì)算目標(biāo)函數(shù)和能量差
            # 調(diào)用子函數(shù) cal_Energy 計(jì)算新解的目標(biāo)函數(shù)值
            fxNew = cal_Energy(xNew, nVar)
            deltaE = fxNew - fxNow
            # ---按 Metropolis 準(zhǔn)則接受新解
            # 接受判別：按照 Metropolis 準(zhǔn)則決定是否接受新解
            if fxNew < fxNow:  # 更優(yōu)解：如果新解的目標(biāo)函數(shù)好于當(dāng)前解，則接受新解
                accept = True
                kBetter += 1
            else:  # 容忍解：如果新解的目標(biāo)函數(shù)比當(dāng)前解差，則以一定概率接受新解
                pAccept = math.exp(-deltaE / tNow)  # 計(jì)算容忍解的狀態(tài)遷移概率
                if pAccept > random.random():
                    accept = True  # 接受劣質(zhì)解
                    kBadAccept += 1
                else:
                    accept = False  # 拒絕劣質(zhì)解
                    kBadRefuse += 1
            # 保存新解
            if accept == True:  # 如果接受新解，則將新解保存為當(dāng)前解
                xNow[:] = xNew[:]
                fxNow = fxNew
                if fxNew < fxBest:  # 如果新解的目標(biāo)函數(shù)好于最優(yōu)解，則將新解保存為最優(yōu)解
                    fxBest = fxNew
                    xBest[:] = xNew[:]
                    totalImprove += 1
                    scale = scale*0.99  # 可變搜索步長(zhǎng)，逐步減小搜索范圍，提高搜索精度                    
        # ---內(nèi)循環(huán)結(jié)束后的數(shù)據(jù)整理
        # 完成當(dāng)前溫度的搜索，保存數(shù)據(jù)和輸出
        pBadAccept = kBadAccept / (kBadAccept + kBadRefuse)  # 劣質(zhì)解的接受概率
        recordIter.append(kIter)  # 當(dāng)前外循環(huán)次數(shù)
        recordFxNow.append(round(fxNow, 4))  # 當(dāng)前解的目標(biāo)函數(shù)值
        recordFxBest.append(round(fxBest, 4))  # 最佳解的目標(biāo)函數(shù)值
        recordPBad.append(round(pBadAccept, 4))  # 最佳解的目標(biāo)函數(shù)值
        if kIter%10 == 0:                           # 模運(yùn)算，商的余數(shù)
            print('i:{},t(i):{:.2f}, badAccept:{:.6f}, f(x)_best:{:.6f}'.\
                format(kIter, tNow, pBadAccept, fxBest))
        # 緩慢降溫至新的溫度，降溫曲線：T(k)=alfa*T(k-1)
        tNow = tNow * alfa
        kIter = kIter + 1
        # ====== 結(jié)束模擬退火過(guò)程 ======
    print('improve:{:d}'.format(totalImprove))
    return kIter,xBest,fxBest,fxNow,recordIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad
# 結(jié)果校驗(yàn)與輸出
def ResultOutput(cName,nVar,xBest,fxBest,kIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad,recordIter):
    # ====== 優(yōu)化結(jié)果校驗(yàn)與輸出 ======
    fxCheck = cal_Energy(xBest,nVar)
    if abs(fxBest - fxCheck)>1e-3:   # 檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)
        print("Error 2: Wrong total millage!")
        return
    else:
        print("\nOptimization by simulated annealing algorithm:")
        for i in range(nVar):
            print('\tx[{}] = {:.6f}'.format(i,xBest[i]))
        print('\n\tf(x):{:.6f}'.format(fxBest))
    return
# 加粗樣式
def main():
    # 參數(shù)設(shè)置，優(yōu)化問(wèn)題參數(shù)定義，模擬退火算法參數(shù)設(shè)置
    [cName, nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale] = ParameterSetting()
    # print([nVar, xMin, xMax, tInitial, tFinal, alfa, meanMarkov, scale])
    # 模擬退火算法
    [kIter,xBest,fxBest,fxNow,recordIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad] \
        = OptimizationSSA(nVar,xMin,xMax,tInitial,tFinal,alfa,meanMarkov,scale)
    # print(kIter, fxNow, fxBest, pBadAccept)
    # 結(jié)果校驗(yàn)與輸出
    ResultOutput(cName, nVar,xBest,fxBest,kIter,recordFxNow,recordFxBest,recordPBad,recordIter)
if __name__ == '__main__':
    main()

4、程序運(yùn)行結(jié)果

x_Initial:-143.601793,331.160277,	f(x_Initial):959.785447
i:0,t(i):100.00, badAccept:0.469136, f(x)_best:300.099320
i:10,t(i):81.71, badAccept:0.333333, f(x)_best:12.935760
i:20,t(i):66.76, badAccept:0.086022, f(x)_best:2.752498
...
i:200,t(i):1.76, badAccept:0.000000, f(x)_best:0.052055
i:210,t(i):1.44, badAccept:0.000000, f(x)_best:0.009448
i:220,t(i):1.17, badAccept:0.000000, f(x)_best:0.009448
improve:18

Optimization by simulated annealing algorithm:
	x[0] = 420.807471
	x[1] = 420.950005
	f(x):0.003352

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