為了方便起見(jiàn)，這些模型通常簡(jiǎn)稱為TAR模型。這些模型捕獲了線性時(shí)間序列模型無(wú)法捕獲的行為，例如周期，幅度相關(guān)的頻率和跳躍現(xiàn)象。Tong和Lim（1980）使用閾值模型表明，該模型能夠發(fā)現(xiàn)黑子數(shù)據(jù)出現(xiàn)的不對(duì)稱周期性行為。

一階TAR模型的示例：

σ是噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差，Yt-1是閾值變量，r是閾值參數(shù)， {et}是具有零均值和單位方差的iid隨機(jī)變量序列。

每個(gè)線性子模型都稱為一個(gè)機(jī)制。上面是兩個(gè)機(jī)制的模型。

考慮以下簡(jiǎn)單的一階TAR模型：

#低機(jī)制參數(shù)
 
i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1
 
#高機(jī)制參數(shù)
 
i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1
 
thresh = -1
delay = 1
 
#模擬數(shù)據(jù)
y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y
 
#繪制數(shù)據(jù)
 
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y[t])
abline(thresh,0,col="red")

TAR模型框架是原始TAR模型的修改版本。它是通過(guò)抑制噪聲項(xiàng)和截距并將閾值設(shè)置為0來(lái)獲得的：

框架的穩(wěn)定性以及某些規(guī)律性條件意味著TAR的平穩(wěn)性。穩(wěn)定性可以理解為，對(duì)于任何初始值Y1，框架都是有界過(guò)程。

在[164]中：

#使用不同的起點(diǎn)檢查穩(wěn)定性
startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)
 
count = 1
for (s in startvals) {
	ysk[1
		} else {
			ysk[i] = -1.8*ysk[i-1]
		}
	
	count = count + 1
}
 
#繪制不同實(shí)現(xiàn)
matplot(t(x),type="l"
abline(0,0)

Chan和Tong（1985）證明，如果滿足以下條件，則一階TAR模型是平穩(wěn)的

一般的兩機(jī)制模型寫為：

在這種情況下，穩(wěn)定性更加復(fù)雜。然而，Chan and Tong（1985）證明，如果

模型估計(jì)

一種方法以及此處討論的方法是條件最小二乘（CLS）方法。

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，除了假設(shè)p1 = p2 = p，1≤d≤p，還假設(shè)σ1=σ2=σ。然后可以將TAR模型方便地寫為

如果Yt-d> r，則I（Yt-d> r）= 1，否則為0。CLS最小化條件殘差平方和：

在這種情況下，可以根據(jù)是否Yt-d≤r將數(shù)據(jù)分為兩部分，然后執(zhí)行OLS估計(jì)每個(gè)線性子模型的參數(shù)。

如果r未知。

在r值范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，該值必須在時(shí)間序列的最小值和最大值之間，以確保該序列實(shí)際上超過(guò)閾值。然后從搜索中排除最高和最低10％的值

在此受限頻帶內(nèi)，針對(duì)不同的r = yt值估算TAR模型。選擇r的值，使對(duì)應(yīng)的回歸模型的殘差平方和最小。

#找到分位數(shù)
lq = quantile(y,0.10)
uq = quantile(y,0.90)
 
#繪制數(shù)據(jù)
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue")
abline(uq,0,col="blue")

#模型估計(jì)數(shù)
 
sum( (lq <= y ) & (y <= uq) )

80

如果d未知。

令d取值為1,2,3，...，p。為每個(gè)d的潛在值估算TAR模型，然后選擇殘差平方和最小的模型。

Chan（1993）已證明，CLS方法是一致的。

最小AIC（MAIC）方法

由于在實(shí)踐中這兩種情況的AR階數(shù)是未知的，因此需要一種允許對(duì)它們進(jìn)行估計(jì)的方法。對(duì)于TAR模型，對(duì)于固定的r和d，AIC變?yōu)?/p>

然后，通過(guò)最小化AIC對(duì)象來(lái)估計(jì)參數(shù)，以便在某個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)搜索閾值參數(shù)，以使任何方案都有足夠的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。

#估算模型
#如果知道閾值
 
#如果閾值尚不清楚
 
#MAIC 方法
 
 
for (d in 1:3) {
	if (model.tar.s$AIC < AIC.best) {
		AIC.best = model.tar.s$AIC
		model.best$d = d
		model.best$p1 = model.tar.s
ar.s$AIC, signif(model.tar.s$thd,4)
 
AICM

非線性測(cè)試

1.使用滯后回歸圖進(jìn)行目測(cè)。

繪制Yt與其滯后。擬合的回歸曲線不是很直，可能表明存在非線性關(guān)系。

在[168]中：

lagplot(y)

2.Keenan檢驗(yàn)：

考慮以下由二階Volterra展開(kāi)引起的模型：

其中{ϵt} 的iid正態(tài)分布為零均值和有限方差。如果η=0，則該模型成為AR（mm）模型。

可以證明，Keenan檢驗(yàn)等同于回歸模型中檢驗(yàn)η=0：

其中Yt ^ 是從Yt-1，...，Yt-m上的Yt回歸得到的擬合值。

3. Tsay檢驗(yàn)：

Keenan測(cè)試的一種更通用的替代方法。用更復(fù)雜的表達(dá)式替換為Keenan檢驗(yàn)給出的上述模型中的項(xiàng)η（∑mj = 1ϕjYt-j）2。最后對(duì)所有非線性項(xiàng)是否均為零的二次回歸模型執(zhí)行F檢驗(yàn)。

在[169]中：

#檢查非線性: Keenan, Tsay
#Null is an AR model of order 1
Keenan.test(y,1)

$test.stat
 
90.2589565661567
 
$p.value
 
1.76111433596097e-15
 
$order
 
1

在[170]中：

Tsay.test(y,1)

$test.stat
 
71.34
 
$p.value
 
3.201e-13
 
$order
 
1

4.檢驗(yàn)閾值非線性

這是基于似然比的測(cè)試。

零假設(shè)是AR（pp）模型；另一種假設(shè)是具有恒定噪聲方差的p階的兩區(qū)域TAR模型，即σ1=σ2=σ。使用這些假設(shè)，可以將通用模型重寫為

零假設(shè)表明ϕ2,0 = ϕ2,1 = ... = ϕ2，p = 0。

似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以證明等于

其中n-p是有效樣本大小，σ^ 2（H0）是線性AR（p）擬合的噪聲方差的MLE，而σ^ 2（H1）來(lái)自TAR的噪聲方差與在某個(gè)有限間隔內(nèi)搜索到的閾值的MLE。

H0下似然比檢驗(yàn)的采樣分布具有非標(biāo)準(zhǔn)采樣分布；參見(jiàn)Chan（1991）和Tong（1990）。

在[171]中：

res = tlrt(y, p=1, d=1, a=0.15, b=0.85)
res

$percentiles
 
14.1
 
85.9
$test.statistic
 
: 142.291963130459
 
$p.value
 
: 0

模型診斷

使用殘差分析完成模型診斷。TAR模型的殘差定義為

標(biāo)準(zhǔn)化殘差是通過(guò)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)化的原始?xì)埐睿?/p>

如果TAR模型是真正的數(shù)據(jù)機(jī)制，則標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖應(yīng)看起來(lái)是隨機(jī)的?？梢酝ㄟ^(guò)檢查標(biāo)準(zhǔn)化殘差的樣本ACF來(lái)檢查標(biāo)準(zhǔn)化誤差的獨(dú)立性假設(shè)。

#模型診斷
 
diag(model.tar.best, gof.lag=20)

預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)分布通常是非正態(tài)的。通常，采用模擬方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。考慮模型

然后給定Yt = yt，Yt-1 = yt-1，...

因此，可以通過(guò)從誤差分布中繪制et + 1并計(jì)算h（yt，et + 1），來(lái)獲得單步預(yù)測(cè)分布的Yt + 1的實(shí)現(xiàn)。 。

通過(guò)獨(dú)立重復(fù)此過(guò)程 B 次，您可以 從向前一步預(yù)測(cè)分布中隨機(jī)獲得B值樣本 。

可以通過(guò)這些B 值的樣本平均值來(lái)估計(jì)提前一步的預(yù)測(cè)平均值 。

通過(guò)迭代，可以輕松地將仿真方法擴(kuò)展為找到任何l步提前預(yù)測(cè)分布：

其中Yt = yt和et + 1，et + 2，...，et + l是從誤差分布得出的ll值的隨機(jī)樣本。

在[173]中：

#預(yù)測(cè)
model.tar.pred r.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
y.pred = ts(c
lines(ts(model.tar.pred$pred.interval[2,], start=end(y) + c(0,1), freq=1), lty=2)
lines(ts(model

樣例

這里模擬的時(shí)間序列是1700年至1988年太陽(yáng)黑子的年數(shù)量。

在[174]中：

#數(shù)據(jù)集
#太陽(yáng)黑子序列，每年
 
plot.ts(sunsp

#通過(guò)滯后回歸圖檢查非線性
lagplot(sunspo)

#使用假設(shè)檢驗(yàn)檢查線性
Keenan.test(sunspot.year)
Tsay.test(sunspot.year)

$test.stat
 
18.2840758932705
 
$p.value
 
2.64565849317573e-05
 
$order
 
9
 
$test.stat
 
3.904
 
$p.value
 
6.689e-12
 
$order
 
9

在[177]中：

#使用MAIC方法
AIC{
	sunspot.tar.s = tar(sunspot.year, p1 = 9, p2 = 9, d = d, a=0.15, b=0.85)
	
AICM

在[178]中：

#測(cè)試閾值非線性
tl(sunspot.year, p=9, d=9, a=0.15, b=0.85)

$percentiles
 
15
 
85
$test.statistic
 
: 52.2571950943405
 
$p.value
 
: 6.8337179274236e-06

#模型診斷
tsdiag(sunspot.tar.best)

#預(yù)測(cè)
sunspot.tar.pred <- predict(sunspot.tar.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
 
lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e

#擬合線性AR模型
#pacf(sunspot.year)
#嘗試AR階數(shù)9
ord = 9
ar.mod <- arima(sunspot.year, order=c(ord,0,0), method="CSS-ML")
 
plot.ts(sunspot.year[10:289]

模擬TAR模型上的AR性能

示例1. 將AR（4）擬合到TAR模型

set.seed(12349)
#低機(jī)制參數(shù)
i1 = 0.3
p1 = 0.5
s1 = 1
 
#高機(jī)制參數(shù)
i2 = -0.2
p2 = -1.8
s2 = 1
 
thresh = -1
delay = 1
 
nobs = 200
#模擬200個(gè)樣本
y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y
 
#使用Tsay的檢驗(yàn)確定最佳AR階數(shù)
ord <- Tsay.test(y)$order
#線性AR模型
#pacf(sunspot.year)
#try AR order 4

例子2. 將AR（4）擬合到TAR模型

例子3. 將AR（3）擬合到TAR模型

例子3. 將AR（7）擬合到TAR模型

參考文獻(xiàn)

恩德斯（W. Enders），2010年。應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)時(shí)間序列

到此這篇關(guān)于R語(yǔ)言時(shí)間序列TAR閾值自回歸模型示例詳解的文章就介紹到這了,更多相關(guān)R語(yǔ)言時(shí)間序列內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！