C++計(jì)算任意權(quán)值的單源最短路徑（Bellman-Ford）

更新時(shí)間：2020年04月26日 17:21:06 作者：ChanJose

這篇文章主要為大家詳細(xì)介紹了C++計(jì)算任意權(quán)值的單源最短路徑，文中示例代碼介紹的非常詳細(xì)，具有一定的參考價(jià)值，感興趣的小伙伴們可以參考一下

本文實(shí)例為大家分享了C++計(jì)算任意權(quán)值單源最短路徑的具體代碼，供大家參考，具體內(nèi)容如下

一、有Dijkstra算法求最短路徑了，為什么還要用Bellman-Ford算法

Dijkstra算法不適合用于帶有負(fù)權(quán)值的有向圖。

如下圖：

用Dijkstra算法求頂點(diǎn)0到各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑：

（1）首先,把頂點(diǎn)0添加到已訪問(wèn)頂點(diǎn)集合S中，選取權(quán)值最小的鄰邊<0, 2>，權(quán)值為5

記錄頂點(diǎn)2的最短路徑為：dist[2]=5, path[2]=0,把頂點(diǎn)2添加到集合S中。

頂點(diǎn)2，沒(méi)有鄰邊(從頂點(diǎn)2出發(fā)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的邊)，結(jié)束；

（2）訪問(wèn)<0, 1>邊，權(quán)值為7，把頂點(diǎn)7添加到頂點(diǎn)集合S中，dist[1]=7, path[1]=0。

雖然，頂點(diǎn)1有鄰邊<1,2>，但是因?yàn)轫旤c(diǎn)2已在集合S中，所以，不繼續(xù)修改，結(jié)束程序。

所以，最終dist[1]=7,dist[2]=5。顯然結(jié)果不對(duì)，頂點(diǎn)2的最短路徑應(yīng)為：0->1->2，權(quán)值為7+（-5）=2

二、Bellman-Ford算法思路：

Bellman-Ford算法，效率低，但是適合用于求帶有負(fù)權(quán)值的單源最短路徑。

不考慮有回路的，如下圖，頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)1的最短路徑可以無(wú)窮小

下面開(kāi)始簡(jiǎn)單描述Bellman-Ford的思路：

可以，看到：通過(guò)繞過(guò)一些頂點(diǎn)，可以取得更短的路徑長(zhǎng)度

當(dāng)k=1時(shí)，即從源點(diǎn)（頂點(diǎn)0）到其他頂點(diǎn)，只需要一條邊。有<0,1>、<0,2>、<0,3>，所以有：dist[1]=6，dist[2]=5，dist[3]=5；

當(dāng)k=2時(shí)，需要2條邊的，u=1，有0->2->3，長(zhǎng)度為：5+（-2）=3，更短，所以要修改dist[1]=3;

u=2,有：0->3->2，長(zhǎng)度為：5+(-2)=3,更短，所以要修改dist[2]=3;

u=3，沒(méi)有兩條邊從頂點(diǎn)0到達(dá)頂點(diǎn)3的路徑；

u=4，有0->1->4，長(zhǎng)度為：6+（-1）=5，更短，所以要修改dist[4]=5;

u=5，有0->3->5，長(zhǎng)度為：5+（-1）=4，更短，所以要修改dist[5]=4;

u=6，沒(méi)有2條邊就可以從頂點(diǎn)0到頂點(diǎn)6的路徑。

重復(fù)上面步驟，直到k=n-1結(jié)束程序。

三、實(shí)現(xiàn)程序：

1.Graph.h：有向圖

#ifndef Graph_h
#define Graph_h
 
#include <iostream>
using namespace std;
 
const int DefaultVertices = 30;
 
template <class T, class E>
struct Edge { // 邊結(jié)點(diǎn)的定義
 int dest; // 邊的另一頂點(diǎn)位置
 E cost; // 表上的權(quán)值
 Edge<T, E> *link; // 下一條邊鏈指針
};
 
template <class T, class E>
struct Vertex { // 頂點(diǎn)的定義
 T data; // 頂點(diǎn)的名字
 Edge<T, E> *adj; // 邊鏈表的頭指針
};
 
template <class T, class E>
class Graphlnk {
public:
 const E maxValue = 100000; // 代表無(wú)窮大的值（=∞）
 Graphlnk(int sz=DefaultVertices); // 構(gòu)造函數(shù)
 ~Graphlnk(); // 析構(gòu)函數(shù)
 void inputGraph(); // 建立鄰接表表示的圖
 void outputGraph(); // 輸出圖中的所有頂點(diǎn)和邊信息
 T getValue(int i); // 取位置為i的頂點(diǎn)中的值
 E getWeight(int v1, int v2); // 返回邊（v1， v2）上的權(quán)值
 bool insertVertex(const T& vertex); // 插入頂點(diǎn)
 bool insertEdge(int v1, int v2, E weight); // 插入邊
 bool removeVertex(int v); // 刪除頂點(diǎn)
 bool removeEdge(int v1, int v2); // 刪除邊
 int getFirstNeighbor(int v); // 取頂點(diǎn)v的第一個(gè)鄰接頂點(diǎn)
 int getNextNeighbor(int v,int w); // 取頂點(diǎn)v的鄰接頂點(diǎn)w的下一鄰接頂點(diǎn)
 int getVertexPos(const T vertex); // 給出頂點(diǎn)vertex在圖中的位置
 int numberOfVertices(); // 當(dāng)前頂點(diǎn)數(shù)
private:
 int maxVertices; // 圖中最大的頂點(diǎn)數(shù)
 int numEdges; // 當(dāng)前邊數(shù)
 int numVertices; // 當(dāng)前頂點(diǎn)數(shù)
 Vertex<T, E> * nodeTable; // 頂點(diǎn)表(各邊鏈表的頭結(jié)點(diǎn))
};
 
// 構(gòu)造函數(shù):建立一個(gè)空的鄰接表
template <class T, class E>
Graphlnk<T, E>::Graphlnk(int sz) {
 maxVertices = sz;
 numVertices = 0;
 numEdges = 0;
 nodeTable = new Vertex<T, E>[maxVertices]; // 創(chuàng)建頂點(diǎn)表數(shù)組
 if(nodeTable == NULL) {
  cerr << "存儲(chǔ)空間分配錯(cuò)誤！" << endl;
  exit(1);
 }
 for(int i = 0; i < maxVertices; i++)
  nodeTable[i].adj = NULL;
}
 
// 析構(gòu)函數(shù)
template <class T, class E>
Graphlnk<T, E>::~Graphlnk() {
 // 刪除各邊鏈表中的結(jié)點(diǎn)
 for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
  Edge<T, E> *p = nodeTable[i].adj; // 找到其對(duì)應(yīng)鏈表的首結(jié)點(diǎn)
  while(p != NULL) { // 不斷地刪除第一個(gè)結(jié)點(diǎn)
   nodeTable[i].adj = p->link;
   delete p;
   p = nodeTable[i].adj;
  }
 }
 delete []nodeTable; // 刪除頂點(diǎn)表數(shù)組
}
 
// 建立鄰接表表示的圖
template <class T, class E>
void Graphlnk<T, E>::inputGraph() {
 int n, m; // 存儲(chǔ)頂點(diǎn)樹(shù)和邊數(shù)
 int i, j, k;
 T e1, e2; // 頂點(diǎn)
 E weight; // 邊的權(quán)值
 
 cout << "請(qǐng)輸入頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)：" << endl;
 cin >> n >> m;
 cout << "請(qǐng)輸入各頂點(diǎn)：" << endl;
 for(i = 0; i < n; i++) {
  cin >> e1;
  insertVertex(e1); // 插入頂點(diǎn)
 }
 
 cout << "請(qǐng)輸入圖的各邊的信息：" << endl;
 i = 0;
 while(i < m) {
  cin >> e1 >> e2 >> weight;
  j = getVertexPos(e1);
  k = getVertexPos(e2);
  if(j == -1 || k == -1)
   cout << "邊兩端點(diǎn)信息有誤，請(qǐng)重新輸入！" << endl;
  else {
   insertEdge(j, k, weight); // 插入邊
   i++;
  }
 } // while
}
 
// 輸出有向圖中的所有頂點(diǎn)和邊信息
template <class T, class E>
void Graphlnk<T, E>::outputGraph() {
 int n, m, i;
 T e1, e2; // 頂點(diǎn)
 E weight; // 權(quán)值
 Edge<T, E> *p;
 
 n = numVertices;
 m = numEdges;
 cout << "圖中的頂點(diǎn)數(shù)為" << n << ",邊數(shù)為" << m << endl;
 for(i = 0; i < n; i++) {
  p = nodeTable[i].adj;
  while(p != NULL) {
   e1 = getValue(i); // 有向邊<i, p->dest>
   e2 = getValue(p->dest);
   weight = p->cost;
   cout << "<" << e1 << ", " << e2 << ", " << weight << ">" << endl;
   p = p->link; // 指向下一個(gè)鄰接頂點(diǎn)
  }
 }
}
 
// 取位置為i的頂點(diǎn)中的值
template <class T, class E>
T Graphlnk<T, E>::getValue(int i) {
 if(i >= 0 && i < numVertices)
  return nodeTable[i].data;
 return NULL;
}
 
// 返回邊（v1， v2）上的權(quán)值
template <class T, class E>
E Graphlnk<T, E>::getWeight(int v1, int v2) {
 if(v1 != -1 && v2 != -1) {
  if(v1 == v2) // 說(shuō)明是同一頂點(diǎn)
   return 0;
  Edge<T , E> *p = nodeTable[v1].adj; // v1的第一條關(guān)聯(lián)的邊
  while(p != NULL && p->dest != v2) { // 尋找鄰接頂點(diǎn)v2
   p = p->link;
  }
  if(p != NULL)
   return p->cost;
 }
 return maxValue; // 邊(v1, v2)不存在,就存放無(wú)窮大的值
}
 
// 插入頂點(diǎn)
template <class T, class E>
bool Graphlnk<T, E>::insertVertex(const T& vertex) {
 if(numVertices == maxVertices) // 頂點(diǎn)表滿(mǎn)，不能插入
  return false;
 nodeTable[numVertices].data = vertex; // 插入在表的最后
 numVertices++;
 return true;
}
 
// 插入邊
template <class T, class E>
bool Graphlnk<T, E>::insertEdge(int v1, int v2, E weight) {
 if(v1 == v2) // 同一頂點(diǎn)不插入
  return false;
 if(v1 >= 0 && v1 < numVertices && v2 >= 0 && v2 < numVertices) {
  Edge<T, E> *p = nodeTable[v1].adj; // v1對(duì)應(yīng)的邊鏈表頭指針
  while(p != NULL && p->dest != v2) // 尋找鄰接頂點(diǎn)v2
   p = p->link;
  if(p != NULL) // 已存在該邊，不插入
   return false;
  p = new Edge<T, E>; // 創(chuàng)建新結(jié)點(diǎn)
  p->dest = v2;
  p->cost = weight;
  p->link = nodeTable[v1].adj; // 鏈入v1邊鏈表
  nodeTable[v1].adj = p;
  numEdges++;
  return true;
 }
 return false;
}
 
// 有向圖刪除頂點(diǎn)較麻煩
template <class T, class E>
bool Graphlnk<T, E>::removeVertex(int v) {
 if(numVertices == 1 || v < 0 || v > numVertices)
  return false; // 表空或頂點(diǎn)號(hào)超出范圍
 
 Edge<T, E> *p, *s;
 // 1.清除頂點(diǎn)v的邊鏈表結(jié)點(diǎn)w 邊<v,w>
 while(nodeTable[v].adj != NULL) {
  p = nodeTable[v].adj;
  nodeTable[v].adj = p->link;
  delete p;
  numEdges--; // 與頂點(diǎn)v相關(guān)聯(lián)的邊數(shù)減1
 } // while結(jié)束
 // 2.清除<w, v>，與v有關(guān)的邊
 for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
  if(i != v) { // 不是當(dāng)前頂點(diǎn)v
   s = NULL;
   p = nodeTable[i].adj;
   while(p != NULL && p->dest != v) {// 在頂點(diǎn)i的鏈表中找v的頂點(diǎn)
    s = p;
    p = p->link; // 往后找
   }
   if(p != NULL) { // 找到了v的結(jié)點(diǎn)
    if(s == NULL) { // 說(shuō)明p是nodeTable[i].adj
     nodeTable[i].adj = p->link;
    } else {
     s->link = p->link; // 保存p的下一個(gè)頂點(diǎn)信息
    }
    delete p; // 刪除結(jié)點(diǎn)p
    numEdges--; // 與頂點(diǎn)v相關(guān)聯(lián)的邊數(shù)減1
   }
  }
 }
 numVertices--; // 圖的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)減1
 nodeTable[v].data = nodeTable[numVertices].data; // 填補(bǔ),此時(shí)numVertices，比原來(lái)numVertices小1，所以，這里不需要numVertices-1
 nodeTable[v].adj = nodeTable[numVertices].adj;
 // 3.要將填補(bǔ)的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置改寫(xiě)
 for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
  p = nodeTable[i].adj;
  while(p != NULL && p->dest != numVertices) // 在頂點(diǎn)i的鏈表中找numVertices的頂點(diǎn)
   p = p->link; // 往后找
  if(p != NULL) // 找到了numVertices的結(jié)點(diǎn)
   p->dest = v; // 將鄰接頂點(diǎn)numVertices改成v
 }
 return true;
}
 
// 刪除邊
template <class T, class E>
bool Graphlnk<T, E>::removeEdge(int v1, int v2) {
 if(v1 != -1 && v2 != -1) {
  Edge<T, E> * p = nodeTable[v1].adj, *q = NULL;
  while(p != NULL && p->dest != v2) { // v1對(duì)應(yīng)邊鏈表中找被刪除邊
   q = p;
   p = p->link;
  }
  if(p != NULL) { // 找到被刪除邊結(jié)點(diǎn)
   if(q == NULL) // 刪除的結(jié)點(diǎn)是邊鏈表的首結(jié)點(diǎn)
    nodeTable[v1].adj = p->link;
   else
    q->link = p->link; // 不是，重新鏈接
   delete p;
   return true;
  }
 }
 return false; // 沒(méi)有找到結(jié)點(diǎn)
}
 
// 取頂點(diǎn)v的第一個(gè)鄰接頂點(diǎn)
template <class T, class E>
int Graphlnk<T, E>::getFirstNeighbor(int v) {
 if(v != -1) {
  Edge<T, E> *p = nodeTable[v].adj; // 對(duì)應(yīng)鏈表第一個(gè)邊結(jié)點(diǎn)
  if(p != NULL) // 存在，返回第一個(gè)鄰接頂點(diǎn)
   return p->dest;
 }
 return -1; // 第一個(gè)鄰接頂點(diǎn)不存在
}
 
// 取頂點(diǎn)v的鄰接頂點(diǎn)w的下一鄰接頂點(diǎn)
template <class T, class E>
int Graphlnk<T, E>::getNextNeighbor(int v,int w) {
 if(v != -1) {
  Edge<T, E> *p = nodeTable[v].adj; // 對(duì)應(yīng)鏈表第一個(gè)邊結(jié)點(diǎn)
  while(p != NULL && p->dest != w) // 尋找鄰接頂點(diǎn)w
   p = p->link;
  if(p != NULL && p->link != NULL)
   return p->link->dest; // 返回下一個(gè)鄰接頂點(diǎn)
 }
 return -1; // 下一個(gè)鄰接頂點(diǎn)不存在
}
 
// 給出頂點(diǎn)vertex在圖中的位置
template <class T, class E>
int Graphlnk<T, E>::getVertexPos(const T vertex) {
 for(int i = 0; i < numVertices; i++)
  if(nodeTable[i].data == vertex)
   return i;
 return -1;
}
 
// 當(dāng)前頂點(diǎn)數(shù)
template <class T, class E>
int Graphlnk<T, E>::numberOfVertices() {
 return numVertices;
}
 
#endif /* Graph_h */

2.Bellman-Ford.h

#ifndef Bellman_Ford_h
#define Bellman_Ford_h
#include "Graph.h"
 
// Bellman-Ford算法
template<class T, class E>
void BellmanFord(Graphlnk<T, E> &G, int v, E dist[], int path[]) {
 int i, k, u, n = G.numberOfVertices();
 E w;
 
 // 1.初始化，將頂點(diǎn)v作為u頂點(diǎn)（存在<v, u>有向邊）的上一個(gè)頂點(diǎn)，記錄路徑
 for(i = 0; i < n; i++) {
  dist[i] = G.getWeight(v, i);
  if(i != v && dist[i] < G.maxValue)
   path[i] = v;
  else
   path[i] = -1;
 }
 // 2.迭代求解：反復(fù)對(duì)邊集E中的每條邊進(jìn)行松弛操作，使得頂點(diǎn)集V中的每個(gè)頂點(diǎn)的最短距離估計(jì)值逐步逼近其最短距離；（運(yùn)行n-1次,因?yàn)樯厦嫠闶?次:k=1，所以，k從2開(kāi)始）
 bool isFlag; // 監(jiān)視該輪dist數(shù)組是否有變化
 for(k = 2; k < n; k++) {
  isFlag = false;
  for(u = 0; u < n; u++) { // 遍歷頂點(diǎn)，找不是v的頂點(diǎn)
   if(u != v) {
    for(i = 0; i < n; i++) {
     w = G.getWeight(i, u);
     if(w != 0 && w < G.maxValue && dist[u] > dist[i] + w) {
      // 存在<i, u>邊，并且繞過(guò)i,使得路徑更短，就修改u頂點(diǎn)的最短路徑
      // w可能是負(fù)權(quán)值，如果i和u是同一頂點(diǎn)，則w是0，排除同一頂點(diǎn)的情況
      // 也可以不寫(xiě)w!=0，因?yàn)橥豁旤c(diǎn)，w=0,dist[u]==dist[i]+w會(huì)不滿(mǎn)足
      // dist[u] > dist[i] + w這個(gè)條件
      dist[u] = dist[i] + w;
      path[u] = i; // 記憶路徑
      isFlag = true;
     }
    } // 第3重循環(huán)
   }
  } // 第2重循環(huán)
  if(isFlag == false) // 如果dist數(shù)組沒(méi)有變化，說(shuō)明各個(gè)頂點(diǎn)已求得最短路徑
   break;
 } // 第1重for循環(huán)
}
 
// 從path數(shù)組讀取最短路徑的算法
template <class T, class E>
void printShortestPath(Graphlnk<T, E> &G, int v, E dist[], int path[]) {
 int i, j, k, n = G.numberOfVertices();
 int *d = new int[n];
 
 cout << "從頂點(diǎn)" << G.getValue(v) << "到其他各頂點(diǎn)的最短路徑為：" << endl;
 for(i = 0; i < n; i++) {
  if(i != v) { // 如果不是頂點(diǎn)v
   j = i;
   k = 0;
   while(j != v) {
    d[k++] = j;
    j = path[j];
   }
   cout << "頂點(diǎn)" << G.getValue(i) << "的最短路徑為：" << G.getValue(v);
   while(k > 0)
    cout << "->" << G.getValue(d[--k]);
   cout << "，最短路徑長(zhǎng)度為：" << dist[i] << endl;
  }
 }
}
#endif /* Bellman_Ford_h */

3.main.cpp

/*
 測(cè)試數(shù)據(jù)：
 7 10
 0 1 2 3 4 5 6
 0 1 6
 0 2 5
 0 3 5
 1 4 -1
 2 1 -2
 2 4 1
 3 2 -2
 3 5 -1
 4 6 3
 5 6 3
 */
 
#include "Bellman-Ford.h"
 
const int maxSize = 40;
 
int main(int argc, const char * argv[]) {
 Graphlnk<char, int> G; // 聲明圖對(duì)象
 int dist[maxSize], path[maxSize], v;
 char u0;
 
 // 創(chuàng)建圖
 G.inputGraph();
 cout << "圖的信息如下：" << endl;
 G.outputGraph();
 cout << "請(qǐng)輸入起始頂點(diǎn)u0:" << endl;
 cin >> u0;
 v = G.getVertexPos(u0); // 取得起始頂點(diǎn)的位置
 // 我把dist數(shù)組放到有向圖頭文件中，方便建立有向圖時(shí)，同時(shí)初始化dist數(shù)組
 BellmanFord(G, v, dist, path); // 調(diào)用BellmanFord函數(shù)
 printShortestPath(G, v, dist, path); // 輸出到各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑
 return 0;
}

測(cè)試結(jié)果：