C++ 實(shí)現(xiàn)求小于n的最大素?cái)?shù)的實(shí)例
C++ 實(shí)現(xiàn)求小于n的最大素?cái)?shù)的實(shí)例
枚舉就是基于已有知識(shí)鏡像答案猜測(cè)的一種問(wèn)題求解策略
問(wèn)題:求小于n的最大素?cái)?shù)
分析:
找不到一個(gè)數(shù)學(xué)公式,使得根據(jù)N就可以計(jì)算出這個(gè)素?cái)?shù)
我們思考:
N-1是素?cái)?shù)么?N-2是素?cái)?shù)嗎?...
所以我們就是判斷N-K是否為素?cái)?shù):
N-K是素?cái)?shù)的充分必要條件:N-K不能被[2,n-k)中任何一個(gè)整除
判斷N-K是否為素?cái)?shù)的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為:
求小于N-K的全部素?cái)?shù)(求“小于N的最大素?cái)?shù)”中的條件是“n不能被[2,n)中任意一個(gè)素?cái)?shù)整除”,而不是整數(shù))
不能被[2,n)中任意一個(gè)素?cái)?shù)整除的數(shù)一定是素?cái)?shù),因?yàn)槟切┱麛?shù)都是以素?cái)?shù)為因子的,
所以沒(méi)必要檢測(cè)所有整數(shù),檢測(cè)所有素?cái)?shù)就ok了
解決方法:
2是素?cái)?shù),記為PRIM 0
根據(jù)PRIM 0,PRIM 1,...PRIM K,尋找比PRIM K大的最小素?cái)?shù)PRIM K+1(這里是根據(jù)素?cái)?shù)找素?cái)?shù))
如果PRIM K+1大于N,則PRIM K是我們需要找的素?cái)?shù),否則繼續(xù)尋找
枚舉:
從可能的集合中一一列舉各元素
根據(jù)所知道的知識(shí),給一個(gè)猜測(cè)的答案
比如:2是素?cái)?shù),那2是本問(wèn)題的解么
枚舉算法:
對(duì)問(wèn)題可能解集合的每一項(xiàng):
根據(jù)問(wèn)題給定的檢驗(yàn)條件判斷哪些是成立的
使條件成立的即為問(wèn)題的解
枚舉過(guò)程:
判斷猜測(cè)答案是否正確
2是小于N的最大素?cái)?shù)么?
進(jìn)行新的猜測(cè):
有兩個(gè)關(guān)鍵因素要注意:
1. 猜測(cè)的結(jié)果必須是前面的猜測(cè)中沒(méi)有出現(xiàn)過(guò)的。每次猜測(cè)的素?cái)?shù)一定要比已經(jīng)找到的素?cái)?shù)大
2. 猜測(cè)的過(guò)程中要及早排除錯(cuò)誤的答案。比如:除2之外,只有奇數(shù)才可能是素?cái)?shù)
枚舉過(guò)程中需要考慮的問(wèn)題:
1. 給出解空間,建立簡(jiǎn)介的數(shù)學(xué)模型
可能的情況是什么?
模型中變量數(shù)盡可能的少(使規(guī)模盡量?。麄冎g相互獨(dú)立
求“小于N的最大素?cái)?shù)”中的條件是“n不能被[2,n)中任意一個(gè)素?cái)?shù)整除”
而不是“n不能被[2,n)中任意一個(gè)整數(shù)整除”
2. 減少搜索的空間
利用知識(shí)縮小模型中各變量的取值范圍,避免不必要的計(jì)算
比如:較少代碼中循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)
除2之外,只有奇數(shù)才可能是素?cái)?shù),{2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n}
3. 采用合適的搜索順序
搜索空間的遍歷順序要與模型中條件表達(dá)式一致
例如:對(duì){2,2*i+1|1<=i,2*i+1<n},按照從小到大的順序
枚舉關(guān)鍵字(枚舉核心):
減少規(guī)模
實(shí)例代碼:
#include <iostream>
using namespace std;
int prim[50000];//用來(lái)存所有素?cái)?shù)
int primNum=0;//用來(lái)記錄 prim數(shù)組中已經(jīng)存入的素?cái)?shù)的數(shù)量
int times=0; //用于記錄求解問(wèn)題的總共判斷次數(shù)
int primLessN(int n);
int primLessN_2(int n);
bool isPrimMothed(int n); //判斷一個(gè)數(shù)是否為素?cái)?shù)
/*
方法一:由前往后用素?cái)?shù)判斷的枚舉法:
求“小于N的最大素?cái)?shù)”中的條件是“n不能被[2,n)中任意一個(gè)素?cái)?shù)整除”,而不是整數(shù)
當(dāng)n=10 0000時(shí),
ans=99991
times=4626 4478次
primNum=9592
我每一個(gè)素?cái)?shù)被判斷出來(lái),都要遍歷一下之前的素?cái)?shù)表
而判斷10 0000的時(shí)候,外層循環(huán)走了50000,里層每一個(gè)素?cái)?shù)就是一次之前素?cái)?shù)表的遍歷
50000*(1+2+3+...+9592)=50000* 4600 8082
前面那個(gè)數(shù)沒(méi)有50000,還要減去那些非素?cái)?shù)
從 50000* 4600 8082可以看出,主要是之前那些素?cái)?shù)花的時(shí)間,非素?cái)?shù)幾乎沒(méi)花時(shí)間
非素?cái)?shù)= 4626 4478-4600 8082= 25 6450
只有25萬(wàn),雖然還是要比下面多很多,因?yàn)槭菑那巴蟊容^的
*/
int primLessN(int n)
{
prim[0]=2; //2是最小的素?cái)?shù)
primNum++;
for(int i=3;i<n;i+=2){
bool isPrim=1; //isPrim用來(lái)判斷一個(gè)數(shù)是否為素?cái)?shù)
for(int j=0;j<primNum;j++){
times++;
if(i%prim[j]==0){
isPrim=0;
break; //沒(méi)加break之前, 當(dāng)n=10 0000時(shí),times=2 5239 6936次 (2.5億) ,加了之后times=4626 4478次 (4.5千萬(wàn)次)
}
}
if(isPrim) prim[primNum++]=i;//如果是素?cái)?shù),則存入prim素?cái)?shù)數(shù)組
}
return prim[primNum-1];
}
/*
方法二: 由后往前的整數(shù)枚舉法
而且方法二的空間消耗也少
當(dāng)n=10 0000時(shí),
ans=99991
times=346次
當(dāng)n=100 0000時(shí),用方法一的話,根本算不出來(lái)
ans=99 9983
times=1811次
當(dāng)n=1 0000 0000(一億)時(shí),
ans=9999 9989
times=11314次
當(dāng)n=10 0000 0000(十億)時(shí),
ans=9 9999 9937
times=52537次
*/
bool isPrimMothed(int n){
bool isPrim=1; //isPrim用來(lái)判斷一個(gè)數(shù)是否為素?cái)?shù)
if(n==2||n==3) return 1;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
times++;
if(n%i==0) return 0;
}
return 1;
}
int primLessN_2(int n){
for(int i=n;i>=2;i--){
if(isPrimMothed(i)) return i;
}
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
//int ans=primLessN(n);
int ans=primLessN_2(n);
cout<<ans<<endl;
printf("總判斷次數(shù)times:%d\n",times);
printf("總素?cái)?shù)數(shù)primNum:%d\n",primNum);
return 0;
}
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