一、價值五萬美元的素數(shù) 

　　2000年4月6日，住在美國密歇根州普利茅茨的那揚(yáng)·哈吉拉特瓦拉(Nayan Hajratwala)先生得到了一筆五萬美元的數(shù)學(xué)獎金，因?yàn)樗业搅似駷橹挂阎淖畲笏財?shù)，這是一個梅森素數(shù)：

　　　　　　　26972593-1。

這也是我們知道的第一個位數(shù)超過一百萬位的素數(shù)。精確地講，如果把這個素數(shù)寫成我們熟悉的十進(jìn)制形式的話，它共有兩百零九萬八千九百六十位數(shù)字，如果把它以這個形式寫下來，大約需要150到200篇本文的篇幅。

　　可是哈吉拉特瓦拉先生并不是一個數(shù)學(xué)家，他甚至很可能對尋找素數(shù)的數(shù)學(xué)理論一無所知——雖然這使他贏得了這筆獎金。他所做的一切，就是從互聯(lián)網(wǎng)上下載了一個程序。這個程序在他不使用他的奔騰II350型計算機(jī)時悄悄地運(yùn)行。在經(jīng)過111天的計算后，上面所說的這個素數(shù)被發(fā)現(xiàn)了。

二、梅森素數(shù) 

　　我們把一個大于1的自然數(shù)叫作素數(shù)，如果只有1和它本身可以整除它。如果一個比1大的自然數(shù)不是素數(shù)，我們就叫它合數(shù)。1既不是素數(shù)，也不是合數(shù)。

　　比如說，你很容易就可以驗(yàn)證7是一個素數(shù)；而15是一個合數(shù)，因?yàn)槌?和15外，3和5都可以整除15。根據(jù)定義，2是一個素數(shù)，它是唯一的偶素數(shù)。早在公元前三百年的古希臘時代，偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里德就證明了存在著無窮多個素數(shù)。

　　關(guān)于素數(shù)，有許多既簡單又美麗，但是極為困難的，到現(xiàn)在還沒有答案的問題。其中有著名的哥德巴赫猜想，它是說任何一個大于6的偶數(shù)，都能表示為兩個奇素數(shù)之和。還有孿生素數(shù)問題。象5和7，41和43這樣相差2的素數(shù)對，被稱為孿生素數(shù)。孿生素數(shù)問題是說：是不是有無窮多對孿生素數(shù)？這里要順便提一下的是，這些看起來很簡單的數(shù)學(xué)問題，它們的解決方法將一定是極其復(fù)雜的，需要最先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具。如果你不是狂妄到認(rèn)為幾百甚至幾千年來所有在這些問題上耗費(fèi)了無數(shù)聰明才智的數(shù)學(xué)家（有許多是非常偉大的）和數(shù)學(xué)愛好者加起來都不如你聰明，就不要試圖用初等方法去解決這些問題，徒費(fèi)時間和精力。

　　古希臘人還對另一種數(shù)感興趣。他們將它稱為完美數(shù)。一個大于1的自然數(shù)叫完美數(shù)，如果它的所有因子（包括1，但不包括本身）之和等于它本身。比如說6=1+2+3就是最小的完美數(shù)，古希臘人把它看作維納斯也就是愛情的象征。28=1+2+4+7+14是另一個完美數(shù)。歐幾里德證明了：一個偶數(shù)是完美數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它具有如下形式：

　　　　　2p-1（2p-1）

其中2p-1是素數(shù)。上面的6和28對應(yīng)著p=2和3的情況。我們只要找到了一個形如2p-1的素數(shù)，也就知道了一個偶完美數(shù)；我們只要找到所有形如2p-1的素數(shù)，也就找到了所有偶完美數(shù)。所以哈吉拉特瓦拉先生不但找到了世界上已知的最大的素數(shù)，還找到了世界上已知的最大的偶完美數(shù)。嗯，你要問，關(guān)于奇完美數(shù)又是怎么樣的情況？回答是：我們現(xiàn)在連一個奇完美數(shù)也沒有找到過，我們甚至根本不知道是不是有奇完美數(shù)存在。我們只知道，要是有奇完美數(shù)存在的話，它一定是非常非常大的！奇完美數(shù)是否存在這個問題，也是一個上面所說的既簡單又美麗，但是極為困難的著名數(shù)學(xué)問題。

有很長一段時間人們以為對于所有素數(shù)p，

　　M_p=2p-1

都是素數(shù)（注意到要使2p-1是一個素數(shù)，p本身必須是一個素數(shù)，想一想為什么？）但是在1536年雷吉烏斯(Hudalricus Regius)指出，M_11=211-1=2047=23*89不是素數(shù)。

　　皮特羅·卡塔爾迪(Pietro Cataldi)首先對這類數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。他在1603年宣布的結(jié)果中說，對于p=17，19，23，29，31和37，2p-1是素數(shù)。但是1640年費(fèi)爾馬使用著名的費(fèi)爾馬小定理（不要和那個費(fèi)爾馬大定理混淆起來）證明了卡塔爾迪關(guān)于p=23和37的結(jié)果是錯誤的，歐拉在1738年證明了p=29的結(jié)果也是錯的，過后他又證明了關(guān)于p=31的結(jié)論是正確的。值得指出的是，卡塔爾迪是用手工一個一個驗(yàn)算取得他的結(jié)論的；而費(fèi)爾馬和歐拉則是使用了在他們那時最先進(jìn)的數(shù)學(xué)知識，避免了許多復(fù)雜的計算和因此可能造成的錯誤。

法國神父梅森(Marin Mersenne)在1644年他發(fā)表了他的成果。他宣稱對于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257，2p-1都是素數(shù)，而對于其它小于257的素數(shù)p，2p-1都是合數(shù)。今天我們把形如M_p=2p-1的素數(shù)叫做梅森素數(shù)，M_p中的M就是梅森姓氏的第一個字母。

　　用手工來判斷一個很大的數(shù)是否素數(shù)是相當(dāng)困難的，梅森神父自己也承認(rèn)他的計算并不一定準(zhǔn)確。一直要等到一個世紀(jì)以后，在1750年，歐拉宣布說找到了梅森神父的錯誤：M_41和M_47也是素數(shù)?？墒莻ゴ笕鐨W拉也會犯計算錯誤——事實(shí)上M_41和M_47都不是素數(shù)。不過這可不是說梅森神父的結(jié)果就是對的。要等到1883年，也就是梅森神父的結(jié)果宣布了兩百多年后，第一個錯誤才被發(fā)現(xiàn)：M_61是一個素數(shù)。然后其它四個錯誤也被找了出來：M_67和M_257不是素數(shù)，而M_89和M_107是素數(shù)。直到1947年，對于p<=257的梅森素數(shù)M_p的正確結(jié)果才被確定，也就是當(dāng)p=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107和127時，M_p是素數(shù)?，F(xiàn)在這個表已經(jīng)被反復(fù)驗(yàn)證，一定不會有錯誤了。

　　下面是我們現(xiàn)在知道的所有梅森素數(shù)的列表：（我們注意到梅森神父的名字不在上面——這種素數(shù)已經(jīng)由他的名字命名了，就把榮譽(yù)分給最后確認(rèn)者吧。）

序號 p M_p的位數(shù) 相對應(yīng)的 確認(rèn) 確認(rèn)人
完美數(shù)的 年代
位數(shù)
1 2 1 1 ---- ----
2 3 1 2 ---- ----
3 5 2 3 ---- ----
4 7 3 4 ---- ----
5 13 4 8 1456 佚名
6 17 6 10 1588 Cataldi
7 19 6 12 1588 Cataldi
8 31 10 19 1772 Euler
9 61 19 37 1883 Pervushin
10 89 27 54 1911 Powers
11 107 33 65 1914 Powers
12 127 39 77 1876 Lucas
13 521 157 314 1952 Robinson
14 607 183 366 1952 Robinson
15 1279 386 770 1952 Robinson
16 2203 664 1327 1952 Robinson
17 2281 687 1373 1952 Robinson
18 3217 969 1937 1957 Riesel
19 4253 1281 2561 1961 Hurwitz
20 4423 1332 2663 1961 Hurwitz
21 9689 2917 5834 1963 Gillies
22 9941 2993 5985 1963 Gillies
23 11213 3376 6751 1963 Gillies
24 19937 6002 12003 1971 Tuckerman
25 21701 6533 13066 1978 Noll & Nickel
26 23209 6987 13973 1979 Noll
27 44497 13395 26790 1979 Nelson & Slowinski
28 86243 25962 51924 1982 Slowinski
29 110503 33265 66530 1988 Colquitt & Welsh
30 132049 39751 79502 1983 Slowinski
31 216091 65050 130100 1985 Slowinski
32 756839 227832 455663 1992 Slowinski & Gage
33 859433 258716 517430 1994 Slowinski & Gage
34 1257787 378632 757263 1996 Slowinski & Gage
35 1398269 420921 841842 1996 GIMPS
36 2976221 895932 1791864 1997 GIMPS
37 3021377 909526 1819050 1998 GIMPS
?? 6972593 2098960 4197919 1999 GIMPS

　　是不是有無窮多個梅森素數(shù)呢？數(shù)學(xué)家們目前還無法回答這個問題。

三、尋找更大的素數(shù) 

　　為什么要尋找梅森素數(shù)？為什么要打破已知最大素數(shù)的紀(jì)錄？這有什么用處呢？

　　如果你所說的用處是指能夠直接創(chuàng)造物質(zhì)財富，那么我不得不告訴你——梅森素數(shù)沒有什么用處，多知道一個非常大的素數(shù)似乎也沒什么用處。即使我們知道了一個無比巨大的梅森素數(shù)，也不會使我們的錢包增加一分錢（嗨等一等！如果你只對錢感興趣的話，也請不要立刻撇下我的文章。我其實(shí)是說，我上面說的話要排除我在這篇文章題目中提到的那十萬美元的獎金——你的錢包也許會因此鼓起來的。所以請耐心一點(diǎn)）。

　　但是人類并不只需要物質(zhì)財富。博物館里的鉆石有什么用場呢？為什么人類要收集它們？因?yàn)樗鼈兠利惗∩?。作為人類智慧的結(jié)晶，素數(shù)、梅森素數(shù)和與它密切相關(guān)的完美數(shù)是非常美麗的。它們的定義簡單，卻又如此神秘莫測，象歐幾里德、笛卡爾、費(fèi)爾馬、萊布尼茲、歐拉這樣的偉大數(shù)學(xué)家都因?yàn)樗鼈兊拿利惗鴮λ鬟^大量研究；大家也看到，兩千多年來，經(jīng)過無數(shù)代人的辛勤工作，我們一共只收集到38個梅森素數(shù)，它們是非常稀少的。對于數(shù)學(xué)家來說，搜集素數(shù)、梅森素數(shù)和完美數(shù)是和收集鉆石一樣富有樂趣的事情。

　　人類還需要榮耀——也許更勝于財富。在體育運(yùn)動中，能夠跑得更快一點(diǎn)，跳得更高一點(diǎn)，難道真的有實(shí)際物質(zhì)方面的用途嗎？不，我們喜歡接受挑戰(zhàn)，我們希望能贏。打破一個體育世界記錄，攀登珠穆朗瑪峰，駕船橫穿太平洋……，那是對人類體能極限的挑戰(zhàn)；而尋找更大的素數(shù)，則是一項對人類智慧的挑戰(zhàn)。當(dāng)我們完成了一項前所未有的任務(wù)時，我們總會感到無比驕傲。1963年，當(dāng)?shù)?3個梅森素數(shù)被找到時，發(fā)現(xiàn)它的美國伊利諾斯大學(xué)數(shù)學(xué)系是如此地驕傲，以致于把所有從系里發(fā)出的信件都敲上了“211213-1是個素數(shù)”的郵戳。

在歐拉證明M_31是素數(shù)以后，下一個最大素數(shù)的記錄由蘭德里(Landry)于1867年獲得：M_59/179951=3203431780337。這不是一個梅森素數(shù)。這個記錄保持了九年。

　　1876年愛德華·盧卡斯使用了一個比費(fèi)爾馬和歐拉的方法更先進(jìn)的手段，證明了M_127是一個素數(shù)。這個記錄保持了七十五年。直到費(fèi)里葉(Ferrier)于1951年使用一部手搖計算機(jī)證明了(2148+1)/17是一個素數(shù)，它有41位數(shù)。

　　借助手搖計算機(jī)的方法要算作手工計算方法還是要算做計算機(jī)方法，大概是可以探討的問題。不過技術(shù)的發(fā)展一下子把這種爭論變得毫無必要。值得指出的是，在人類尋找大素數(shù)的旅途中，數(shù)學(xué)理論的改善要遠(yuǎn)遠(yuǎn)比具有強(qiáng)大堅韌的計算能力重要得多。盧卡斯的方法在1930年被勒梅(Lehmer)簡化后，盧卡斯-勒梅測試成為現(xiàn)在尋找梅森素數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方法。

（盧卡斯-勒梅測試：對于所有大于1的奇數(shù)p，M_p是素數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)M_p整除S(p-1)，其中S(n)由S(n+1)=S(n)2-2，S(1)=4遞歸定義。這個測試尤其適合于計算機(jī)運(yùn)算，因?yàn)槌訫_p=2p-1的運(yùn)算在二進(jìn)制下可以簡單地用計算機(jī)特別擅長的移位和加法操作來實(shí)現(xiàn)。判斷一個梅森數(shù)是素數(shù)的方法比判斷一個差不多大小的其他類型數(shù)是素數(shù)的方法要簡單得多，所以在尋找最大素數(shù)的過程中，大部分紀(jì)錄都是梅森素數(shù)。）

　　在1951年米勒和維勒(Miller & Wheeler)借助于EDSAC計算機(jī)（這種計算機(jī)還不如我們現(xiàn)在使用的一般計算器，它只有5K的內(nèi)存）發(fā)現(xiàn)了長達(dá)79位的素數(shù)180(M_127)2+1。這個記錄還是沒能保持多久。次年羅賓遜應(yīng)用SWAC計算機(jī)，在1952年初發(fā)現(xiàn)了第13和第14號梅森素數(shù)：M_521和M_607，后面連續(xù)三個梅森素數(shù)也在同一年被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)：M_1279，M_2203和M_2281。

　　在那以后的年代里，為了打破巨大素數(shù)紀(jì)錄而使用的計算機(jī)越來越強(qiáng)大，其中有著名的IBM360型計算機(jī)，和超級計算機(jī)Cray系列。大家可以參看上面的梅森素數(shù)表來了解這個競賽過程。在此其間只有一次一個不是梅森素數(shù)的素數(shù)坐上過“已知最大素數(shù)”的寶座，它是39158*2216193-1，在1989年被發(fā)現(xiàn)。1996年發(fā)現(xiàn)的M_1257787是迄今為止最后一個由超級計算機(jī)發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)，數(shù)學(xué)家使用了Cray T94。

　　然后，GIMPS的時代到來了。

四、GIMPS——互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索 

　　1995年程序設(shè)計師喬治·沃特曼(George Woltman)開始收集整理有關(guān)梅森素數(shù)計算的數(shù)據(jù)。他編制了一個梅森素數(shù)尋找程序并把它放在網(wǎng)頁上供數(shù)學(xué)愛好者免費(fèi)使用。這就是“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”計劃(GIMPS，the Great Internet Mersenne Prime Search)。在這個計劃中，十幾位數(shù)學(xué)專家和幾千名數(shù)學(xué)愛好者正在尋找下一個最大的梅森素數(shù)，并且檢查以前梅森素數(shù)紀(jì)錄之間未被探索的空隙。比如上面的梅森素數(shù)表中，最后那個素數(shù)的序號是未知的，我們不知道第37號梅森素數(shù)和它之間是否還存在著其他未被發(fā)現(xiàn)的梅森素數(shù)。

　　1997年斯科特·庫爾沃斯基(Scott Kurowski)和其他人建立了“素數(shù)網(wǎng)”(PrimeNet)，使分配搜索區(qū)間和向GIMPS發(fā)送報告自動化?，F(xiàn)在只要你去GIMPS的主頁下載那個免費(fèi)程序，你就可以立刻參加GIMPS計劃搜尋梅森素數(shù)。幾乎所有的常用計算機(jī)平臺都有可用的版本。程序以最低的優(yōu)先度在你的計算機(jī)上運(yùn)行，所以對你平時正常地使用計算機(jī)幾乎沒有影響。程序也可以隨時被停止，下一次啟動時它將從停止的地方繼續(xù)進(jìn)行計算。

　　從1996年到1998年，GIMPS計劃發(fā)現(xiàn)了三個梅森素數(shù)：M_1398269、M_2976221和M_3021377，都是使用奔騰型計算機(jī)得到的結(jié)果。

　　1999年3月，在互聯(lián)網(wǎng)上活動的一個協(xié)會“電子邊界基金”(EFF，Electronic Frontier Foundation)宣布了由一位匿名者資助的為尋找巨大素數(shù)而設(shè)立的獎金。它規(guī)定向第一個找到超過一百萬位的素數(shù)的個人或機(jī)構(gòu)頒發(fā)五萬美元的獎金，這就是我們最一開始說到的哈吉拉特瓦拉得到的獎金。后面的獎金依次為：超過一千萬位，十萬美元；超過一億位，十五萬美元；超過十億位，二十五萬美元。

　　搜尋結(jié)果的驗(yàn)證和獎金的頒發(fā)是非常嚴(yán)格的。比如說，得到的結(jié)果必須是顯式的——你不能宣稱你的結(jié)果是一個有一百個方程組成的方程組的解，卻不把它解出來。結(jié)果必須由另一臺計算機(jī)獨(dú)立驗(yàn)證。所有這些規(guī)則都在EFF網(wǎng)站上進(jìn)行了解釋。

　　應(yīng)該指出的是，通過參加GIMPS計劃來獲得獎金的希望是相當(dāng)小的。哈吉拉特瓦拉使用的計算機(jī)是當(dāng)時21000臺計算機(jī)中的一臺。每一個參與者都在驗(yàn)證分配給他的不同梅森數(shù)，當(dāng)然其中絕大多數(shù)都不是素數(shù)——他只有大約三萬分之一的可能性碰到一個素數(shù)。

　　下一個十萬美元的獎金將被頒發(fā)給第一個找到超過一千萬位的素數(shù)的個人或機(jī)構(gòu)。這一次的計算量將大約相當(dāng)于上一次的125倍?，F(xiàn)在GIMPS得到的計算能力為每秒7000億次浮點(diǎn)運(yùn)算，和一臺當(dāng)今最先進(jìn)的超級矢量計算機(jī)，比如Cray T932的運(yùn)行能力相當(dāng)。但是如果GIMPS要使用這樣的超級計算機(jī)，一天就需要支付大約二十萬美元。而現(xiàn)在他們需要的費(fèi)用，只不過是支持網(wǎng)站運(yùn)行的費(fèi)用，和總共幾十萬美元的獎金罷了。

五、網(wǎng)上分布式計算計劃 

　　GIMPS只不過是互聯(lián)網(wǎng)上眾多的分布式計算計劃中的一個罷了，GIMPS主頁上就有這些計劃的介紹。

　　分布式計算是一門計算機(jī)學(xué)科，它研究如何把一個需要非常巨大的計算能力才能解決的問題分成許多小的部分，然后把這些部分分配給許多計算機(jī)進(jìn)行處理，最后把這些計算結(jié)果綜合起來得到最終的結(jié)果。有時侯計算量是如此之大，需要全世界成千上萬甚至更多臺計算機(jī)一起工作，才能在合乎情理的時間內(nèi)得到結(jié)果。GIMPS計劃就是在進(jìn)行這樣的分布式計算。

　　但它并不是最著名的分布式計算計劃。致力于尋找宇宙中智慧生命的“搜尋地外文明計劃”(SETI計劃)中的SETI@HOME工程，已在全世界招募了290萬名(!)志愿者，利用屏幕保護(hù)程序來處理射電望遠(yuǎn)鏡接受到的大量的宇宙間傳來的無線電信號。如果你參加這個計劃，也許有一天會在你的計算機(jī)上破譯出外星人發(fā)來的問候呢。

　　你也可以用你的計算機(jī)空余的計算能力為人類征服癌癥作出貢獻(xiàn)。英國科學(xué)家設(shè)計了類似SETI@HOME工程的分布式計算屏保，它從有關(guān)網(wǎng)站下載數(shù)據(jù)，分析化學(xué)物質(zhì)分子的抗癌性能，然后將分析結(jié)果通過互聯(lián)網(wǎng)傳回給研究人員，作為研制新型抗癌藥物的參考。這項工程將于2001年4月3日在美國加利福尼亞州正式啟動。

　　計算機(jī)硬件的更新令人目不暇接，上半年買的最新式的個人電腦，在下半年就變成了大路貨。三四年前的CPU，現(xiàn)在變得一錢不值——也許不能這么說，你根本就買不到它們了——市面上最便宜的CPU也要比它們強(qiáng)大得多。而一臺普通的家用計算機(jī)連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)五年也是沒有問題的。所以，對待計算機(jī)的最經(jīng)濟(jì)的態(tài)度就是：讓它運(yùn)轉(zhuǎn)。

　　而人類還有那么多的東西需要計算，還有那么多的問題需要找到回答，還有那么多的難關(guān)需要克服。我們需要越來越巨大的計算能力，我們也擁有這樣的計算能力，只是太多太多被白白地閑置浪費(fèi)掉了。互聯(lián)網(wǎng)已經(jīng)使大規(guī)模的分布式計算計劃成為可能?，F(xiàn)在，我們唯一需要的，就是這個網(wǎng)上每一個結(jié)點(diǎn)上計算機(jī)用戶的意愿和信心了。

　　全世界的計算機(jī)聯(lián)合起來！